Mekanizmalarda Konum Analizi

3.4 Mekanizmalarda Vektör Devreleri

Mekanizmalarda bulunan uzuvlar ile herhangi bir düzlemsel hareket yapan cisimler arasında en önemli fark, mekanizma uzuvları hareketlerini sınırlayan ve onları diğer uzuvlara bağlayan mafsallardan dolayı, girdi parametreleri değerlerine göre sınırlandırılmış bir hareket halindedirler. Birbirlerine mafsallar ile bağlı uzuvlar kapalı çokgenler oluşturacaklardır. Bu çokgenlerin her birine devre diyeceğiz. Hareket analizinde temel yaklaşımımızın başlangıç noktası bu devreleri matematiksel olarak ifade etmek olacaktır.

Kinematik analize başlarken her bir uzuvla ilgili tüm boyutları bildiğimizi kabul edeceğiz. Kinematik analiz sadece boyutlarını bildiğimiz (veya boyutlarını bir varsayım ile tahmin ettiğimiz) uzuvlardan oluşan bir mekanizma için yapılabilir. Genel olarak döner mafsal eksenleri arasında uzaklık veya bir döner mafsal orta nok-tasından aynı uzvun bağlandığı bir kayar mafsal eksenine olan dik uzaklık uzuv boyutlarıdır. Bazı durumlarda ise verilen boyutlar kullanılarak istenilen başka boyutların çıkarılması gerekebilir. Ancak her durumda, mekanizma uzuvları hakkında yeterli boyut bilgisinin olduğu kabul edilecektir.

Önceki kısımda, bir uzvun konumu için bu uzvun üzerinde iki noktanın konumunun bilinmesi gerektiğini ve bu iki noktanın konumu bilinir ise, başka her hangi bir noktanın konumunun bulanabileceğini göstermiştik. Bu durumda konum anali-zinde hedefimiz her bir uzuv üzerinde iki noktanın konumunu belirlemek olacaktır. Nokta sayısını azaltmak, bir uzvun konumunu belirlediğimizde diğer uzvun konumunun belirlenmesinde kolaylık sağlamak için bu noktaları uzuvlar arasında daima çakışan noktalar seçmek tercih edeceğimiz bir husus olacaktır. Bu şekilde uzuv konumlarını tanımlamak için gereken parametre sayısı azaltılabilecektir. Bir uzvun üzerinde tanımlayacağımız vektörün başlangıç noktası başka bir uzvun üzerinde tanımladığımız vektörün bitiş noktası olabilecektir.

Bir örnek vermek için yukarıda gösterilen dört-çubuk mekanizmasını ele alalım. Bu mekanizmada A₀ ,1 ve 2 uzuvları üzerinde; A, 2 ve 3 uzuvları üzerinde; B, 3 ve 4 uzuvları üzerinde ve B₀ , 4 ve 1 uzuvları üzerinde daima çakışan noktalardır. Bir an için Şekil B de gösterildiği gibi daima çakışması gereken B₃ ve B₄ noktalarını birbirinden ayırdığımızı düşünelim. Bu durumda iki açık zincir elde edilecektir (A₀AB ve B₀B). Bu açık zincirlerde uzuv sayısı mekanizmada bulunan uzuv sayısı kadardır. Bu uzuvların açık zincir durumunda konumlarını belirleyelim. Konumlarını belirlemek için ilk olarak bir sabit referans ekseni seçmemiz gerekir. Her hangi bir referans ekseni seçebilir isek de, eğer referans eksenimizin başlangıç noktası A₀ veya B₀ dan geçer ise, ek sabit değerlere ihtiyacımız olmayabilir. Örneğin eksen başlangıcını A₀ olarak ve pozitif x eksenini A₀B₀ yönünde seçer isek, elde edeceğimiz ilişkilerin daha basit olacağı görülecektir (eğer başka her hangi bir sabit referans ekseni seçilir ise, bu durumda seçim noktasına bağlı olarak bir uzvun veya noktanın konumu belirlenirken 3 yeni sabit parametre denklemlerde yer alacaktır). Şimdi seçmiş olduğumuz referans takımına göre 2 uzvunun konumunu belirlemek istersek, 2 uzvu sabit uzva göre sadece dönme yapabileceğinden ve A₀ noktası 2 ve 1 uzuvları arasında daima çakışan nokta olduğundan, dönme miktarını belirleyen ₁₂ parametresi değerini belirlersek 2 uzvunun konumunu belirlemiş oluruz. Eğer 2 uzvu üzerinde A noktasının yerini bulmak istersek A₀A=a₂ biliniyor kabul edildiğinden (uzuv boyutu), A noktasının koordinatları A (a₂cos₁₂ , a₂sin₁₂ ) olarak kolayca belirlenir (veya kutupsal olarak a₂₁₂). A noktası 2 ve 3 noktaları üzerinde çakışan noktalar olduğundan 3 uzvunun konumunun belirlenmesi sırasında A noktası zaten ₁₂ parametresi ile bilindiğinden, şimdi 3 uzvunun konumunu belirlemek için sadece ₁₃ parametresini belirlememiz yeterli olacaktır. Benzer bir şekilde 4 uzvunun konumunu belirlemek için ₁₄ parametresinin belirlenmesi yeterlidir. Bu şekilde elde ettiğimiz açık kinematik zincirde bütün uzuvların konumlarının belirlenmesi üç parametre gerekmektedir (₁₂ , ₁₃ ve ₁₄ ). Görüldüğü gibi bu parametreler mutlaka mafsal serbestlik derecelerine aittir.

Her uzuv bir vektor ile gösterilebildiğine göre, bu vektörlerin başlangıç ve bitiş noktalarını mekanizmada daimi çakışan noktalar olarak seçelim ve 2 uzvu için A₀A, 3 uzvu için AB, 1 uzvu için A₀B₀ ve 4 uzvu için AB vektörlerini tanımlayalım. Mekanizmamızda sadece döner mafsallar olduğu için değişken parametreler açı parametreleri olup bu vektörlerin boyutları (şiddeti) sabit uzuv boyutlarıdır (A₀A=a₂, AB=a₃, A₀B₀=a₁ ve B₀B=a₄) ve bu vektörlerin yönleri (A₀B₀ sabit vektörü hariç) değişken açı parametreleri (₁₂ , ₁₃ ve ₁₄ ) ile tanımlanır. Açık zincir olarak ele alındığında, bu üç parametreye verilen değerlere bağlı olarak B₃ ve B₄ noktaları farklı konumlarda olacaktır (ve bu sistemin serbestlik derecesi 3 dür). B noktasının konumu:

A₀A +AB=A₀B₃ (1,2,3 açık zinciri için)
A₀B₀ +B₀B= A₀B₄ (1,4 açık zinciri için)

Ancak biliyoruz ki mekanizmada B noktası 3 ve 4 uzuvları üzerinde daima çakışan iki noktadır. Öyle ise her iki zincirden ayrı ayrı elde edilen A₀B₃ ve A₀B₄ vektörleri daima çakışan iki noktayı gösterdiklerinden birbirlerine eşit olmaları gerekir (A₀B₃ = A₀B₄). Bu değerlendirme ile:

A₀A +AB=A₀B₀ +B₀B
Vektör denklemi elde edilir. B noktası daima çakışan nokta olduğundan bu denklem mekanizmanın alabileceği her konum için geçerli olması şarttır. Aksi durumda mekanizmayı oluşturan zincir kopmuştur (mekanizma yoktur).

Şekilden görüleceği gibi, dört-çubuk mekanizmasında bir kapalı devre vardır ve bu kapalı devreyi gösteren bir vektör denklemi elde edilmiştir. Bu denklem bize oluşan zincirin kapalı bir zincir olduğunu gösterir (daima çakışan noktalar). Bu denkleme devre kapalılık denklemi veya vektör devre denklemi diyeceğiz. Bu denklem bir vektör denklemi olup denklemdeki değişkenler mutlaka mekanizmadaki mafsalların serbestlik dereceleri ile ilişkilidir. Bir vektör denkleminden iki skaler denklem elde edileceğinden, iki parametre değeri bu denklemler kullanılarak çözülebilir. Devre kapalılık denklemimizde üç parametre (₁₂, ₁₃ ve ₁₄) olduğuna göre, eğer bu parametrelerden birisi tanımlanmış ise (₁₂ olsun) diğer iki parametre (₁₃ ve ₁₄) bu vektör devre denkleminden çözülebilmelidir. Tanımlanması gereken parametre sayısı mekanizmanın serbestlik derecesine eşittir. Dikkat edilecek husus, bu parametreler arasında ilişki basit lineer bir ilişki olmayıp trigonemetrik fonksiyonları içeren karmaşık bir ilişkidir. Bu parametrelere konum değişkenleri diyeceğiz.

Devre kapalılık denkleminde bulunan vektörleri göstermenin bir kolay yolu ise her bir vektörü kompleks sayı kullanarak tanımlamaktır. Örneğin A₀A vektörünün uzunluğu a₂ ve yatay eksenle yaptığı açı ₁₂ olduğuna göre:
A₀A = a₂cos₁₂+ ia₂sin₁₂
veya Euler formülü kullanılarak üstel fonksiyon olarak:
A₀A = a₂
yazılabilir. Benzer bir şekilde, uzuv boyutları ai olarak ( a₁= A₀B₀ , a₂= A₀A, ve benzeri.) gösterilir ise, vektör devre denklemi kompleks sayılar ile:
a₂+a₃=a₁+a₄
olarak yazılabilir. İstendiğinde bu vektörler x ve y bileşenleri kullanılarak da yazılabilir. Bu durumda dört-çubuk mekanizması için vektör devre denklemi:

olacaktır. x ve y bileşenleri ayrı ayrı eşitlenir ise:

a₂cos₁₂+a₃cosq₁₃=a₁+a₄cos₁₄
a₂sin₁₂+a₃sinq₁₃=a₄sin₁₄

Dört-çubuk mekanizması için vektörlerin boyutları sabit olup açısal yönleri değişkendir. Serbestlik derecesi tanımına tekrar göz atarsak, tanımlanması gereken parametre sayısı mekanizmanın tahrik edildiği mafsala ait olup serbestlik derecesi kadar parametre tanımlanmalıdır. Bu parametreler dört-çubuk mekanizmasında olduğu gibi daima açısal parametre olması gerekmez.

Farklı bir basit örnek olarak Şekil A da görülen krank-biyel mekanizmasını ele alalım. B noktasında 3 ve 4 uzuvlarını birbirine bağlayan döner mafsalı söktüğümüzü düşünelim (Şekil B). dört uzvu için yapmış olduğumuz incelemeye benzer bir inceleme yaptığımızda A₀AB zincirinde bulunan 2 ve 3 uzuvlarının konumları seçmiş olduğumuz referans eksenlerine göre ₁₂ ve ₁₃ açısal konum parametrelerinin tanımlanması ile belirlenebilir. 4 uzvunun konumu ise, 1 uzvuna göre kayar çift ekseni yönünde öteleme yapacağından, kayar çift ekseni yönünde tanımlanan s₁₄ konum değişkeni ile belirlenir. Bu konum değişkeni öteleme değişkenidir. Bu durumda elde edilen devre kapalılık denklemi:

A_oA + AB = A_oB
olur. Bu denklemde 3 değişken (₁₂, ₁₃ ve s₁₄) bulunmakta, bunlardan birinin tanımlanması ile diğer ikisinin elde edilebilmesi için bir vektör devre denklemi bulunmaktadır. (tanımlanması gereken bağımsız parametre, uygulamaya göre, ₁₂ (pompa gibi) veya s₁₄ (içten yanmalı motor) olabilir). Bu örnekte A_oA ve AB vektörlerinde boyut sabit yön değişken iken, A_oB vektöründe y bileşeni sabit (c uzunluğu) ve x bileşeni (s₁₄) değişkendir. Kompleks sayılar ile bu vektörler yazıldığında vektör devre denklemi:

a₂+a₃= s₁₄ + ic

olur.

Vektör devre denkleminde kullanılan değişkenler, tanımlanan boyutlar her zaman aynı olmayabilir, problemi tanımlayan kişiye göre farklar gösterebilir. Örneğin, krank biyel mekanizmasında B mafsalını sökmektense A mafsalı sökülebilir (alttaki şekil). Bu durumda 3 uzvunun konumunun belirlenmesi için faklı bir açı ₁₃'= xBA tanımlanması gerekebilir. Burada dikkat edilecek husus B mafsalının söküldüğünde tanımlanan ₁₃ parametresi ile ₁₃' arasında sabit bir açı farkı vardır (bu durumda 180^o). Elde edilen devre kapalılık denklemi ise:

A_oA = A_oB + AB
dir. Kompleks sayılar kullanılarak yazıldığında:

a₂= s₁₄ + ic +a₃^'

Örnek : altı uzuvlu bir mekanizmadaki devreler

Dört Çubuk mekanizmasına baktığımızda, geometrik olarak:

A_oA +AB = A_oB
bir vektör denklemi yazılabilir. Ancak Bu denklemde A_oB vektörünü incelediğimizde bu vektörün hem yönü ve hemde boyutu (x ve y bileşkeleri) değişken olup bu değişkenler hiç bir şekilde bir mafsalla serbestliği ile ilişkili değildir. Bu denklem sadece diğer iki vektörün şiddeti ve yönü biliniyor ise, B noktasının konumunu veren A_oB vektörünü bulmaya yarar. Bu denklem geçerli bir vektör denklemi ise de vektör devre denklemi değildir. Bu tür denklemlerle devre kapalılık denklemleri arasında en önemli fark, değişken parametrelerin mafsal serbestlik derecesine bağlı olup olmadığı ve bu denklemlerin bir mafsalın sökülmesi ile yok olup olmadığıdır.

Benzer bir değerlendirme C biyel noktası (3 uzvu) kullanılarak yazılan vektör denklemleri:

A_oA + AC = A_oC

AB + BC = AC

içinde yapılabilir.

İkinci denklemde üç vektörde aynı uzuv üzerindedir ve birbirlerine göre sabit açılar oluştururlar. Bu vektörlerden herhangi birinin konumu ve yatay ile yaptığı açı bilinir ise, diğer vektörlerin başlangıç konumu ve yatay ile yaptıkları açı bulunabilir.

Başka bazı mekanizmaların analizi için iki uzuv üzerinde bulunan iki noktanın anlık çakışma konumu bir vektörün başlangıç veya bitiş noktası olarak kullanılabilir. Kol-kızak mekanizmasında görüldüğü gibi, bu durumda kullanılması gereken parametre bir uzvun diğer uzva göre bağıl konumunu belirleyen değişkendir. B_oA vektörü : B_oC ve CA olmak üzere iki bileşene ayılabilir, görülen iki açık zincir kullanılarak (ve sonuçta her iki açık zincirden elde edilen A noktasının daima çakışan nokta olması gerektiği göz önüne alınarak) vektör devre denklemi:

A_oA = A_oB_o + B_oC + CA

dir. Kompleks sayılar ile yazıldığında:

A₂ ve A₃ noktaları daima çakışan noktalardır ve Şekil B de sökülerek elde edilen iki açık zincir kullanılarak devre kapalılık denklemi yazılmıştır. A₄ noktası ise A₂ ve A₃ noktaları ile sadece anlık çakışmakta, t süre sonra mekanizmada uzuvların yer değişimi ile 3 uzvu 4 uzvuna göre kayar çift ekseni yönünde s kadar ilerlemesi sonucunda A₂ ve A₃ noktaları ile 4 uzvu üzerinde farklı bir nokta (A') anlık çakışmış olacaktır (Şekil C).

CA vektörünün hem uzunluğu ve hemde açısal konumu değişecektir. Ancak CA vektörünün B_oC vektörüne göre bağıl açısal konumu, her iki vektör aynı uzuvda bulunan noktalar arasında olduğundan daima sabittir. Eğer B_oC vektörünün sabit x ekseni ile yaptığı açı ₁₄ ise, CA vektörünün sabit x ekseni ile yaptığı açı ₁₄+ ₄ olacaktır ve ₄ açısı 4 uzvu üzerinde bulunan B_oC ve CP doğrularının arasında kalan (P kayar çift ekseni üzerinde her hangi bir noktadır) sabit bir uzuv parametresidir. Bu durumda devre kapalılık denkleminde konum değişkenleri ₁₂, ₁₄ ve s₄₃ dür.

Yukarıda gösterilmiş olan mekanizmayı inceler isek, 2 ve 3 uzuvları üzerinde daima çakışan A noktasını söküp elde edilen açık zincirleri kullanarak devre kapalılık denklemlerini yazdığımızda, Bir önceki örnekte (kol-kızak) gösterilmiş olan mekanizma için elde edilen denklemlerin aynen elde edildiği görülecektir.Bu nedenle, mekanizma görünümleri farklı olsada kinematik açıdan aynıdır. Tasarım olarak 3 ve 4 uzuvları farklı şekillerde üretilmiş iselerde, her iki mekanizmada eğer sabit uzuv parametreleri (a₂, a₄, ₄) aynı ise, aynı harekete sahiptirler.

Devre kapalılık denklemleri yazılırken denklemin sadece o konumda geçerli olmayıp her konum için kullanılacağı unutulmamalıdır. Verilmiş olan mekanizma özel bir konumda olabilir veya özel boyutlara sahip olabilir. Örneğin yukarıdaki şekilde mekanizmanın çizildiği konumda 2 ve 1 uzuvları aynı doğrultuda bulunmaktadır. 2 uzvu kısa bir süre sonra bir miktar dönebilir ve farklı bir açıda olabilir. Bu durumlarda mekanizmayı bu özel konumdan biraz kaydırarak çizmemizde yarar vardır . Diğer bazi durumlarda ise devre kapalılık denklemleri mümkün olabilecek en basit şekilde yazılabilmesi için mekanizmanın özel boyutları denklemde kullanılarak yazılabilir. Örneğin kol kızak mekanizmasında gösterilen mekanizma için eğer ₄ açısını önceden bir dik açı olacağı biliniyor ise, bunun devre kapalılık denklemi kullanılırken kullanılmasında yarar vardır. Bu durumda bu mekanizma için kompleks sayılarla devre kapalılık denklemi:

Verilen her bağımsız parametre için devre kapalılık denklemlerinden diğer konum değişkenleri için çözüm elde edilmesi mümkün olmayabilir. Bu durumlar mekanizmanın o bağımsız parametre değerinde bağlanamıyacağını veya mekanizmanın o bağımsız parametre değeri konumunda olamıyacağını gösterir.

-bağımsız devre sayısı ve dolayısı ile yazılması gerekli bağımsız devre denklemleri sayısı önceden belirlenebilir-

Düzlemsel mekanizmalar için mekanizmada bulunan devre sayısı (L) kadar vektör devre denklemi yazıldığında, devre sayısının iki katı kadar skaler denklem elde edilmiştir. Denklemlerde kullanılan konum değişkenlerinden F serbestlik derecesine karşı gelen parametreler önceden belirlenmelidir (bunlar bağımsız konum değişkenleridir). Bu denklemlerde bağımsız konum değişkenleri dışında eğer 2L kadar konum değişkeni bulunuyor ise, teorik olarak mekanizmada hareket belirlidir ve devre kapalılık denklemleri kullanılarak diğer konum değişkenleri değerleri o konum için bulunabilir. Bağımsız konum değişkeni verilen sınırlar içinde belirli aralıklarla değiştirilir ve diğer konum değişkenleri değerleri değişik bağımsız değişken değerleri için bulunur ise, incelemiş olduğumuz mekanizmanın tüm çalışma aralığında kinematik analizi yapılmış olur. Eğer bağımsız parametre bir giriş kolu ise (krank) kol açısı 0 ile 360^o aralığında değiştirilir . Bağımsız parametre bir hidrolik veya pnömatik pistonun hareketi ise, hareket sınırları pistonun kapalı boyutundan başlayarak pistonun önceden bilinen stroku kadar değişebilir.

Devre kapalılık denklemlerinden konum değişkenleri çözüldükten sonra her hangi bir uzvun üzerinde bulunan her hangi bir noktanın konumu bu konum parametreleri kullanılarak bağımsız değişken değerine göre kolaylıkla bulunabilir.

Devre kapalılık denklemlerinin elde edilmesi için her zaman mekanizmada mafsalların sökülmüş halde gösterilmesine gerek yoktur. Devamlı çakışan iki noktayı birbirinden ayırma (sökme) ve sonra birleştirme kavramsal olarak yapılması gereken bir işlemdir. Başlangıç örneklerinde konunun görsel olarak anlatılabilmesi için, mafsallar sökülü olarak gösterilmiştir.

Aşağıda değişik mekanizmalar için yazılmış olan devre kapalılık denklemleri görülmektedir. Sizlerin bu denklemlerin yazılması sırasında hangi mafsalın sökülüp takıldığını belirlemeniz gerekmektedir.

Bilhassa son yıllarda geliştirilmiş olan paket programların kullanılması sırasında en önemli husus bu devre denklemlerinin doğru değişkenler kullanılarak doğru yazılmasıdır. Göreceksiniz ki eğer devre denklemini yanlış yazar isek yapacağımız diğer tüm hesaplar yanlış olacaktır. Bu yöntem ile, somut bir mekanizmanın matematiksel denklemleri yazıldığında soyut matematiksel bir probleme indirgenebilmiştir. Bundan sonra çeşitli yöntemlerle bu denklemleri çözebiliriz.

Örnek I.