3.6 Devre Kapalılık Denklemlerinin Konum Değişkenleri İçin Çözümü

Önceki kısımda gördüğümüz gibi, geometrik olarak devre kapalılık denklem-lerinin çözümü yeterli parametresi verilmiş olan bir üçgenin diğer parametrelerinin be-lirlenmesinden ibarettir. Analitik geometri derslerinden bildiğimiz gibi, üçgen bağ-lantıları aynı zamanda analitik olarak ifade edilerek analitik çözümde yapılabilir. Bu yaklaşımda, tıpkı geometrik yöntemde olduğu, gibi etap etap konum parametrelerinin belirlenmesine çalışılacak ve bunun için seri olarak çözülebilecek bir dizi denklem elde edilecektir. Her bir konum parametrisinin sadece bağımsız parametreye göre belirlen-mesine çalışılmayacaktır. Yani, bu çalışma sonrası konum parametrelerini bağımsız parametre değerine göre bulabileceği bir "algoritma" elde edilecektir. Bu algoritmayı ister bir hesap makinası ile ister özel bir program yazarak veya ister isek çeşitli paket programlarda kolaylıkla çözmemiz mümkün olacaktır.

İlk örnek olarak yukarıda görülen bir krank-biyel mekanizmasını ele alalım. Bi-linen uzuv boyutlarını a₁, a₂, a₃ olarak gösterelim. Amacımız 3 ve 4 uzuvlarının her hangi bir krank açısı, ₁₂, değeri için bulmaktır.

Vektör devre denklemi:

A₀A = A₀B + BA

Bu vektörler tanımlanmış olan sabit ve değişken parametrelerle yazıldığında:

olacaktır.

x ve y bileşenleri ayrı ayrı birbirlerine eşitlendiğinde, devre kapalılık denklemi iki skaler denkleme dönüşecektir:

a2cos12 = s14 + a3cos 13	(1)
a2sin 12 = a1 + a3sin 13	(2)

Bu denklemleri bilinmeyen konum parametreleri için yeniden yazdığımızda:

	(3)
	(4)

Verilen giriş kol açısı ₁₂ değerine göre, ₁₃ değişken değeri (3) denkleminden, s₁₄ ise (4) denkleminden çözülebilecektir. s₁₄ değişken değeri ₁₃ değeri (3) denkleminden bulunduktan sonra bulunabilir. Her hangi bir C noktasının koordinatlarını, C (x_c, y_c), bulmak istediğimizde A₀C = x_ci+y_cj konum vektörü A₀C = A₀B + BC olarak yazılıp x ve y bileşenleri ayrı ayrı eşitlendiğinde:

xc = s14 + b3cos(13 -3)	(5)
yc = a1 + b3sin(13 -3)	(6)

(5) ve (6) numaralı denklemler (3) ve (4) numaralı denklemler çözüldükten sonra ele alınabilir.

Şu ana kadar göz önüne alınmamış olan çok önemli bir konu bulunmaktadır. Bu, (3) denkleminde ₁₃ konum değişkeninin verilen her hangi bir ₁₂ açısı için çözümü sırasında denklemi sağlayan iki farklı değerde olabileceğidir. Bunun nedeni kullanılacak olan invers sinus fonksiyonu çift değerlidir. Yani sinus açısı karşı kenarın hipotenüse oranı olduğundan, verilen bir sin( ) değerini açısı sağladığı gibi (180⁰-) açısıda sağlayacaktır. Bu açılardan hangisinin mevcut mekanizma için geçerli olduğu, kullanıcı tarafından belirlenmesi gerekir, çünkü Yukarıda gösterilmiş olan mekanizma uzuv boyutları aynı olmak üzere, aynı ₁₂ krank açısında istenilir ise, aşağıda gösterildiği gibi farklı bir şekilde de monte edilebilir. Matematiğin mekanizmayı nasıl monte ettiğimizi bilmesine imkan yoktur.

Krank biyel mekanizmasının aynı krank açısında farklı monte edilişi

Devre kapalılık denklemi kullanarak elde ettiğimiz konum parametreleri ara-sındaki ilişki lineer değildir. Bu nedenle her mekanizma için geçerli bir yöntem söylemek mümkün değildir. Yaklaşım genelde üçgenlerin belirlenerek bu üçgenlerin gerekli parametrelere göre çözümünü bulmaktır.

DÖRT ÇUBUK MEKANİZMASI

Dört-çubuk mekanizması için kullanılan yönteme "Raven metodu" da denmektedir. Aşağıda gösterilmiş olan mekanizma için uzuv boyutları (a₁, a₂, a₃, a₄) verilmiştir. Tüm uzuvların konumunu her hangi bir ₁₂ değeri için bulmak istiyoruz.

Geometrik yöntemde kullandığımız yönteme benzer bir şekilde ilk olarak A₀AB₀ üçgenini göz önüne alalım. Bu üçgende iki kenar (a₁, a₂) ve aralarındaki açı (₁₂) bilinmektedir. Öyle ise üçüncü kenar (AB₀ = s) ve ' açısı bu üçgende kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir:

	(1)
	(2)

s ve ' değerlerini belirlemek için bir başka yöntem ise (ki bu yöntemde invers kosinus fonksiyonu kullanıldığında ortaya çıkacak olan çifte değerlilik olmayacaktır) B₀A vektörünü B₀A=B₀A₀+A₀B olarak yazdıktan sonra :

scos = a2cos12-a1 (B0A vektörünün yatay bileşeni )	(1')
ssin = a2 sin12 (B0A vektörünün dikey bileşeni)	(2')

Her iki denklemin sağ tarafı bir ₁₂ açısı değerine göre B₀A vektörünün yatay ve dikey bileşenlerini verecektir. Vektörü kutupsal koordinatlarda gösteren s ve değerlerini bulmak ise dik koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine dönüşümdür. Hesap makinalarında bu işlem (R-P) ile gösterilen tuş ile (dik koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüşüm) yapılır ise s ve değerleri elde edilir. Eğer Excel paket programı kullanılır ise açısının bulunması için ATAN2(X,Y) fonksiyonu kullanılabilir. (s için her iki terimin karelerinin toplamının kare kökü alınır). Mekanizma için s ve geçerli değeri bulunduktan sonra, ABB₀ üçgeninin her üç kenar uzunluğu bilindiğinden (s=AB₀ (₁₂ nin fonksiyonu olarak), AB=a₃, BB₀=a₄), kosinus teoremi ile bu üçgenin açı değerleri bulunabilir:

	(3)
	(4)

ve açıları invers kosinüs fonksiyonu ile elde edildiklerinden 0 ile 180^o arasında değer alırlar. Bilinmeyen ₁₃ ve ₁₄ konum parametreleri eğer mekanizma A₀ABB₀ şeklinde (açık durum) monte edilmiş ise:

14 = -	(5)
13 = 14 -	(6)

Eğer mekanizma A₀AB'B₀ şeklinde (çapraz durum) monte edilmiş ise:

14 = +	(5')
13 = 14 +	(6')

olacaktır. Kol-sarkaç boyutlarında mekanizmalar için her ₁₂ açısına karşı iki değişik ₁₃ ve ₁₄ değeri elde edilecektir. Ancak, eğer denklem 3 ve 4 de 1 den büyük bir değerin invers kosinus fonksiyonunun değeri bulunmak istenir ise, çözüm elde edilemez. Bu, mekanizmanın verilmiş olan ₁₂ açısında kapalı bir devre oluşturamıyacağını gösterir.

Bu şekilde, konum değişkenleri değerlerini hesaplayabileceğimiz bir denklem dizisi elde etmiş bulunuyoruz.

KOL-KIZAK MEKANİZMASI

Yukarıda kol-kızak mekanizması gösterilmektedir. Konum analizi için (konum değişkenlerini bulmak için) gereken denklemler:

pcos = a2cos12 -a1	(1)
psin = a2sin 12	(2)

p ve nin çözümü için hesap makinalarında PR tuşu veya Excell paket programında için ATAN2(X,Y) fonksiyonu kullanılır ise her durumda doğru sonuç elde edilebilecektir.

	(3)
	(4)
	(5)

Bu denklemlerin çıkarılması okuyucuya bırakılmıştır (sıra ile A₀AB ve AB₀B üçgenlerinin çözümünü düşünmek gerekir).

ÇOK UZUVLU MEKANİZMALAR

Genellikle çok uzuvlu mekanizmalar dikkatlice incelenir ise, büyük bir kısmının dört uzuvlu devrelerden oluştuğu görülecektir. Her bir devre yukarıda üç temel mekanizma için vermiş olduğumuz yöntem ile çözülebilir. Bu durumda giriş uzvunu içeren devreden başlayarak devreler sırayla çözülebilecektir.

Yukarıda gösterilmiş olan var-gel mekanizmasını ele alalım. 1,2,3 ve 4 uzuvlarından oluşan A₀AB₀ devresi önceden gösterilmiş olan kol-kızak mekanizmanın a₄=0 durumundan başka bir şey değildir. Bu devrenin çözümünden ₁₄ açısı ve s₄₃ elde edilebilecektir. 1,4,5 ve 6 uzuvlarının oluşturduğu B₀BCPB₀ devresi ise, bir krank-biyel mekanizmasıdır. Bu devrenin herhangi bir ₁₄ açısına göre çözümü ise s₁₆ ve ₁₅ konum parametrelerini verir. Seçilen referans eksenlerine göre konum parametrelerinin tanımına dikkat edilmesi gerekir.

Öyle ise, bilinen ₁₂ açısına göre diğer konum değişkenleri:

denklemleri kullanılarak elde edilebilir.

İlk iki denklem kol kızak mekanizması için A₀AB₀ üçgeninin çözümünü, son iki denklem ise krank biyel mekanizmasının (B₀BC)çözümünü vermektedir. ₁₂ ve ₁₄ açılarının istendiğinde dikey bir doğruya göre ölçülmeyip kolaylıkla yatay bir doğruya göre ölçülebileceği açıktır. Ayrıca ₁₅ değeri belirlenirken invers sinüs kullanıldığından şekil ile uyumlu olabilmesi için ₁₅ açı değeri 90⁰ den küçük olmalıdır.

Bu kısımda açıklanmış olan yöntem pratikte birçok mekanizmanın analizinde kullanılan çok basit bir yöntemdir. Mühim olan mekanizmayı oluşturan basit devreleri belirlemek ve bu basit devrelerin herbirini ayrı ayrı çözebilmektir.

Örnek

Yukarıda gösterilmiş olan garaj kapısının analizi için gerekli olan denklemleri elde edelim (Bu mekanizmanin hareketi, ilk bölümde gösterilmişti)

Yukarıda verilmiş olan şeklin AutoCad kütüğü için -garajkap.dwg-

Dikkat edilir ise, bir teknik resim üzerinde bizim istediğimiz gibi ne uzuvlar numaralıdır ve nede mafsallar işaretlidir. Bunu bizim yapmamız gerekir. Öncelikle de mekanizmanın serbestlik derecesini bulalım. Mekanizma 6 uzuvlu ve 7 döner mafsala sahip olduğuna göre serbestlik derecesi F=3(6-7-1)+7=1 dir ve bağımsız devre sayısı L=7-6+1=2 dir. Bundan sonra uzuvları ve mafsalları işaretleyelim ve devreleri belirleyelim.

Devreleri belirlerken gerekli olan uzuv boyutlarını verilen teknik resimden bulabiliriz.

Bunlar:

A₀B₀=a₁, A₀A=a₂, A₀D=b₂, AB=a₃, B₀B=a₄, BC=a₅, DC=a₆

A₀ABB₀ devresi bir dört-çubuk mekanizmasıdır. Bu devrede ₁₂ kol açısı bağımsız değişken olduğunu kabul eder isek dört çubuk mekanizmasında olduğu gibi şu denklemleri yazabiliriz: (B₀A=s)

      scos()= - a₂cos(₁₂)

      ssin()= a₁- a₂sin(₁₂)

Bu iki denklemden s ve çözüldükten sonra kosinüs teoremi kullanılarak:

      ₁₄=-

      ₁₃= - + ₁₄

Dört- Çubuk mekanizmasını çözdükten sonra, BCD üçgenini ele alalım. B ve D noktaları koordinatları:

      x_B=a₂cos(₁₂)+a₃cos(₁₃)

      y_B=a₂sin(₁₂)+a3sin(₁₃)

      xD=b₂cos(₁₂)

      x_D=b₂sin(₁₂)

ve

      ₁₅=+

      ₁₆=₁₅+

Bu şekilde mekanizmanın tüm uzuvlarının konumları bulunmuş olur.

©es