3.7 Kompleks Sayılar Kullanılarak Konum Analizi

Kompleks sayıların devre kapalılık denklemlerinde kullanılışlı olduğunu, genellikle polar gösterim ile devreyi oluşturan her bir vektörü kompleks sayı kullanarak kolayca tanımlayıp gösterebileceğimizi görmüştük. Kompleks sayılarla matematiksel işlemler normal sayılarla yapılan cebir işlemleri ile aynı olduğundan (tek bir fark i²= - 1 olacaktır), kompleks sayılar aynı kolaylıkla mekanizmalarda konum parametrelerinin çözümü için kullanılabilir.

İlk örnek olarak dört-çubuk mekanizmasını ele alalım. Vektör devre denklemi:

olacaktır. Her bir uzva bağlı konum vektörünün uzunluğu a_j, pozitif x ekseni ile yaptığı açı _1j dersek, kompleks sayı olarak bu konum vektörü olarak gösterilebilir. Bu durumda devre kapalılık denklemi kompleks sayılar ile:

(1)

Bu iki denklemden verilen bir ₁₂ açısı değerine göre ₁₃ ve ₁₄ değerlerini bulabilmek deneme-yanılma gerektirecektir. Bu denklemleri ₁₃ ve ₁₄ değerlerinin kolayca elde edilebilir hale getirmek gerekmektedir. İsterseniz bu skaler denklemleri kullanarak bu çözümü yapabilirsiniz.

Kompleks düzlemde kalarak çözüm yapmak istediğimizde, mekanizma için geçerli olan ikinci bir denkleme ihtiyaç vardır. Bu denklemi elde etmek için Mekanizmanın devre denklemini yazdığımız eksen takımına göre, bir aynanın alt yüzeyini x ekseni ile çakışacak şekilde yerleştirelim. Ayna üzerinde mekanizmanın görüntüsü görülecektir. Gerçek mekanizma hareket ettiği zaman aynadaki görüntüde hareket edecektir ve mekanizmanın oluşturduğu her bir kapalı devreye karşılık ayna görüntüde bir kapalı devre olacaktır. Gerçek devre ile görüntüde oluşan devrede vektörlerin boyutları aynı görülecek ancak gerçek mekanizmada saat yelkovanına ters yönde alınan açılar, ayna görüntüde saat yelkovanı yönünde olacaklardır. Bu görüntüde oluşan devre için, devre kapalılık denklemini yazdığımızda:

(2)

Kompleks sayı literatüründe elde edilen bu ikinci denkleme devre kapalılık denkleminin sanal eşleniği denmektedir. Bu denklemin (1 denklemi) geçerli olduğu her durumda bu sanal eşlenikde (2 denklemi) geçerlidir.

Kompleks sayı düzleminde iki denklem (1 ve 2) iki konum değişkenini bulmak için kullanılabilir. (1) ve (2) denklemlerinin reel ve sanal kısımlarını ayrı ayrı eşitler ve skaler denklemler elde edersek, her iki denklemden elde edilecek olan denklemlerin aynı skaler denklemlere dönüştüğü görülecektir. Yakınsama yöntemi ile numerik çözüm, ileride açıklanacaktır. Burada bilinmeyen konum parametrelerinden her biri bağımsız konum değişkeninin fonksiyonu olarak nasıl çözülebilir, onu görelim.

Dört çubuk mekanizmasında ₁₄ değişkenini ₁₂ parametresine göre çözmeyi hedefliyelim. Bu durumda ₁₃ konum değişkenini 1 ve 2 numaralı denklemlerden yok etmemiz gereklidir. Devre kapalılık denklemi ve sanal eşleniğinden ₁₃ ün yok edilmesi için yok etmek istediğimiz açıyı içeren terimi denklemin sol tarafına alarak yazalım.:

	(3)
	(4)

(yok edeceğimiz değişkeni içeren terim denklemin bir tarafına alınmıştır). (3) ve (4) denklemlerini taraf tarafa çarpar isek :

(5)

olduğunu hatırlarsak:

(6)

Euler denklemine göre olacağından, (6) numaralı denklem:

olacaktır. Bu denklem:

(7)

Yazılabilir. Bu denklemde:

dir. (7) numaralı denkleme, bunu ilk tanımlayan kişiye atfen "Freudenstein denklemi" denmektedir. Bu denklem dört-çubuk mekanizmalarının sentezinde önemli rol oynar. ₁₄ ve ₁₂ değişkenleri arasında ilişki bu denklem ile belirlidir. Ancak verilen bir ₁₂ değerine karşı gelen ₁₄ açısını (7) numaralı denklemden kolayca belirlemek mevcut durumu ile mümkün değildir. Freudenstein denklemini

(8)

Şeklinde yazabiliriz.

Trigonometrik eşitliklerinden yararlanarak cos ₁₄ ve sin ₁₄ terimlerini t = tan(½₁₄) fonksiyonu ile gösterir isek (bir açının yarısını kullanarak açının tüm trigonemetrik fonksiyonlarını sadece yarım açının tanjant fonksiyonu ile ifade edilmesi yarım tanjant yöntemi olarak bilinir). Freudenstein denklemi:

olarak yazılabilir. Bu denklemde:

dir. Dikkat edilir ise, ₁₂ bağımsız parametre değeri ve uzuv boyutları biliniyor ise A,B ve C parametre değerlerini hesaplayabiliriz. (9) numaralı denklem tan(½₁₄) e göre ikinci dereceden bir denklemdir ve çözümü:

olacaktır. Bilinmeyen ₁₄ açısı bu durumda

(10)

olur. (10) denklemi diskriminantın artı veya eksi işaret almasına göre iki değişik ₁₄ değeri verecektir. Bu mekanizmanın iki farklı şekilde monte edilmesi ile ilgilidir.

Benzer yöntem kullanılarak devre kapalılık denkleminden ₁₄ açısı yok edilerek ₁₃ açısı için ₁₂ ye göre aynı şekilde elde edilebilir (veya ₁₂ değeri ile birlikte bu değere göre bulunan ₁₄ açı değeri kullanılarak ₁₃ açısı değeri bulunabilir).

Denklem 8'i ₁₄ açısına göre çözmek için kullanılabilecek farklı bir yöntem ise bu denklemi:

(K1-cos12)cos14 - sin14sin12 = K2cos12 - K3

(11)

şeklinde yazalım. Ayrıca:

der isek:

(13)

olacaktır. Bu tanımlarla denklem (11):

D cos cos14 - D sin sin14 = K2 cos12 - K3

dır. cos (+) = coscos- sin sin trigonometrik eşitliği kullanır isek:

(14)

veya:

(15)

13 numaralı denklemin açısına göre çözümü sırasında açının doğru değerini bulmak için R-P tuşu veya ATAN2(x.y) fonksiyonunun kullanımı ihmal edilmemelidir. (15) numaralı denklemde kosinüs invers fonksiyonunun iki değişik değeri mekanizmanın iki farklı montaj şeklini verecektir.

Devre kapalılık denklemlerinin konum değişkenleri için çözümüne bir başka örnek olarak kol-kızak mekanizmasını ele alalım. Bu mekanizmada ₁₂ bağımsız konum değişkeni, ₁₄ ve s₄₃ ise bağımlı konum değişkenleridir. Amacımız her ₁₂ açısına karşı gelen ₁₄ değerini elde edebileceğimiz denklemi elde etmektir.

Vektör devre denklemi:

Olacaktır ve kompleks sayılar ile yazıldığında:

(1)

Bu denklemin kompleks eşleniği (mekanizmanın ayna görüntüsünde devre denklemi):

(2)

olacaktır s₄₃ parametresini bu iki denklemden yok etmek için bunu ihtiva eden terimi tek başına bırakalım.

	(3)
	(4)

s₄₃ parametresini yok etmek için 3 denklemini ve 4 denklemini ile çarpıp birbirlerine eşitliyelim.

veya

(5)

olduğu hatırlanır ise:

a2 cos (14 - 12) - a1 cos 14 - a4 = 0

(6)

Denklem 6 yı kullanarak verilen bir ₁₂ değerine göre ₁₄ değerine çözmemiz için cos(₁₄ -₁₂) ü trigonemetrik eşitlik kullanarak açalım:

veya:

olacaktır. Dört-çubuk mekanizması için elde edilmiş olan denklemde yapılmış olduğu gibi, cos₁₄ ve sin₁₄ fonksiyonları fonksiyonu ile gösterilerek gerekli basitlemeler yapıldığında:

(7)

bu denklemde:

Bu ikinci derece denklemin ₁₄ açısına çözümü bilinen binom teoremi ile kolayca yapılabilir. Genel olarak yarım tanjant yöntemi kapalı çözüm elde edilmesi için kuvvetli bir yöntem olarak görülmektedir (eğer istenilir ise dört-çubuk mekanizması için verilen ve 11-15 numaralı denklemlerle açıklanmış olan farklı yöntemde kullanılabilir).

Eğer s₃₄ konum değişkenini ₁₂ ye göre bulmamız gerekiyor ise bu sefer ₁₄ parametresini devre denkleminden yok etmemiz gerekecektir. Bu durumda devre kapalılık denklemi ve onun kompleks eşleniği:

şeklinde yazılabilir. Taraf tarafa çarpım yapıldığında ₁₄ açısı yok edilecek ve s₄₃ için çözüm:

olacaktır.

Bu çözümleri elde ederken kullanılacak olan sin^-1(p), cos^-1(p) tan^-1(p) gibi fonksiyonlar kullanılır iken bu fonksiyonların iki değerli olduğu ve hesap makinesi, veya başka her hangi bilgisayar program paketinin bu değerlerden birini vereceğini, mekanizmanın bağlanış şekline göre hangi değerin geçerli olduğuna kullanıcı olarak bizim karar vermemiz gerektiği unutulmamalıdır.

Geometrik çözümde gördüğünüz gibi, uygulamada birçok çok uzuvlu mekanizma basit mekanizmaların bağlanması ile elde edilmiştir. Basit mekanizmalar için elde edilen bu çözümler daha karmaşık mekanizmaların çözümünde kolayca kullanılabilir.

©es