3.6 Devre Kapalılık Denklemlerinin Konum Değişkenleri İçin Çözümü

Önceki kısımda gördüğümüz gibi, geometrik olarak devre kapalılık denklemlerinin çözümü yeterli parametresi verilmiş olan bir üçgenin diğer parametrelerinin belirlenmesinden ibarettir. Analitik geometri derslerinden bildiğimiz gibi, üçgen bağlantıları aynı zamanda analitik olarak ifade edilerek analitik çözümde yapılabilir. Bu yaklaşımda, tıpkı geometrik yöntemde olduğu, gibi etap etap konum parametrelerinin belirlenmesine çalışılacak ve bunun için seri olarak çözülebilecek bir dizi denklem elde edilecektir. Her bir konum parametresinin sadece bağımsız parametreye göre belirlenmesine çalışılmayacaktır. Yani, bu çalışma sonrası konum parametrelerini bağımsız parametre değerine göre bulabileceği bir “algoritma” elde edilecektir. Bu algoritmayı ister bir hesap makinası ile ister özel bir program yazarak veya ister isek çeşitli paket programlarda kolaylıkla çözmemiz mümkün olacaktır.

İlk örnek olarak yukarıda görülen bir krank-biyel mekanizmasını ele alalım. Bilinen uzuv boyutlarını a₁, a₂, a₃ olarak gösterelim. Amacımız 3 ve 4 uzuvlarının her hangi bir krank açısı, θ₁₂, değeri için bulmaktır.

Vektör devre denklemi:

A₀A = A₀B + BA

Bu vektörler tanımlanmış olan sabit ve değişken parametrelerle yazıldığında:

A₀A = a₂(cosθ₁₂i + sinθ₁₂j)

A₀B = xi + a₁j

BA = a₃(cosθ₁₃i + sinθ₁₃j)

olacaktır. x ve y bileşenleri ayrı ayrı birbirlerine eşitlendiğinde, devre kapalılık denklemi iki skaler denkleme dönüşecektir:

a2cosθ12 = s14 + a3cosθ13	(1)
a2sinθ12 = a1 + a3sinθ13	(2)

Bu denklemleri bilinmeyen konum parametreleri için yeniden yazdığımızda:

sinθ13 = (a2sinθ12 − a1)/a3	(3)
s14 = a2cosθ12 − a3cosθ13	(4)

Verilen giriş kol açısı θ₁₂ değerine göre, θ₁₃ değişken değeri (3) denkleminden, s₁₄ ise (4) denkleminden çözülebilecektir. s₁₄ değişken değeri θ₁₃ değeri (3) denkleminden bulunduktan sonra bulunabilir. Her hangi bir C noktasının koordinatlarını, C(x_c, y_c), bulmak istediğimizde A₀C = x_ci + y_cj konum vektörü A₀C = A₀B + BC olarak yazılıp x ve y bileşenleri ayrı ayrı eşitlendiğinde:

xC = s14 + b3cos(θ13 − γ3)	(5)
yC = a1 + b3sin(θ13 − γ3)	(6)

(5) ve (6) numaralı denklemler (3) ve (4) numaralı denklemler çözüldükten sonra ele alınabilir.

Şu ana kadar göz önüne alınmamış olan çok önemli bir konu bulunmaktadır. Bu, (3) denkleminde θ₁₃ konum değişkeninin verilen her hangi bir θ₁₂ açısı için çözümü sırasında denklemi sağlayan iki farklı değerde olabileceğidir. Bunun nedeni kullanılacak olan ters sinüs fonksiyonu çift değerlidir. Yani sinüs açısı karşı kenarın hipotenüse oranı olduğundan, verilen bir sin(θ) değerini θ açısı sağladığı gibi (180° − θ) açısı da sağlayacaktır. Bu açılardan hangisinin mevcut mekanizma için geçerli olduğu, kullanıcı tarafından belirlenmesi gerekir, çünkü yukarıda gösterilmiş olan mekanizma uzuv boyutları aynı olmak üzere, aynı θ₁₂ krank açısında istenilir ise, aşağıda gösterildiği gibi farklı bir şekilde de monte edilebilir. Matematiğin mekanizmayı nasıl monte ettiğimizi bilmesine imkan yoktur.

Krank biyel mekanizmasının aynı krank açısında farklı monte edilişi

Devre kapalılık denklemi kullanarak elde ettiğimiz konum parametreleri arasındaki ilişki lineer değildir. Bu nedenle her mekanizma için geçerli bir yöntem söylemek mümkün değildir. Yaklaşım genelde üçgenlerin belirlenerek bu üçgenlerin gerekli parametrelere göre çözümünü bulmaktır.

DÖRT ÇUBUK MEKANİZMASI

Dört-çubuk mekanizması için kullanılan yönteme Raven metodu denmektedir. Aşağıdaki şekilde gösterilmiş olan mekanizma için uzuv boyutları (a₁, a₂, a₃, a₄) verilmiştir. Tüm uzuvların konumunu her hangi bir θ₁₂ değeri için bulmak istiyoruz.

Geometrik yöntemde kullandığımız yönteme benzer bir şekilde ilk olarak A₀AB₀ üçgenini göz önüne alalım. Bu üçgende iki kenar (a₁, a₂) ve aralarındaki açı (θ₁₂) bilinmektedir. Öyle ise üçüncü kenar (AB₀ = s) ve ϕ′ açısı bu üçgende kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir:

s = \displaystyle \sqrt{{{{\text{a}}_{1}}^{2}+{\text{a}_{2}}^{2}-2{\text{a}_{1}}{{\text{a}}_{2}}\cos{{\text{θ}}_{{12}}}}}	(1)
ϕ′ = cos-1 \displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{1}}^{2}+{{\text{s}}^{2}}-{{\text{a}}_{2}}^{2}}}{{2{{\text{a}}_{1}}\text{s}}}} \right]     (ϕ = π − ϕ′)	(2)

s ve ϕ′ değerlerini belirlemek için bir başka yöntem ise (ki bu yöntemde ters kosinüs fonksiyonu kullanıldığında ortaya çıkacak olan çifte değerlilik olmayacaktır) B₀A vektörünü B₀A = B₀A₀ + A₀B olarak yazdıktan sonra :

s cosϕ = a2cosθ12 − a1 (B0A vektörünün yatay bileşeni )	(1′)
s sinϕ = a2sinθ12 (B0A vektörünün dikey bileşeni)	(2′)

Her iki denklemin sağ tarafı bir θ₁₂ açısı değerine göre B₀A vektörünün yatay ve dikey bileşenlerini verecektir. Vektörü kutupsal koordinatlarda gösteren s ve ϕ değerlerini bulmak ise dik koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine dönüşümdür. Hesap makinalarında bu işlem (R-P) ile gösterilen tuş ile (dik koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine dönüşüm) yapılır ise s ve ϕ değerleri elde edilir. Eğer Excel paket programı kullanılır ise ϕ açısının bulunması için ATAN2(X, Y) fonksiyonu kullanılabilir. (s için her iki terimin karelerinin toplamının kare kökü alınır). Mekanizma için s ve geçerli ϕ değeri bulunduktan sonra, ABB₀ üçgeninin her üç kenar uzunluğu bilindiğinden (s = |AB₀| (θ₁₂ nin fonksiyonu olarak), |AB| = a₃, |BB₀| = a₄), kosinüs teoremi ile bu üçgenin açı değerleri bulunabilir:

μ = cos-1 \displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{3}}^{2}+{{\text{a}}_{4}}^{2}-{{\text{s}}^{2}}}}{{2{{\text{a}}_{3}}{{\text{a}}_{4}}}}} \right]	(3)
ψ = cos-1 \displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{4}}^{2}+{{\text{s}}^{2}}-{{\text{a}}_{3}}^{2}}}{{2{{\text{a}}_{4}}\text{s}}}} \right]	(4)

μ ve ψ açıları ters kosinüs fonksiyonu ile elde edildiklerinden 0 ile 180° arasında değer alırlar. Bilinmeyen θ₁₃ ve θ₁₄ konum parametreleri eğer mekanizma A₀ABB₀ şeklinde (açık durum) monte edilmiş ise:

θ14 = ϕ − ψ	(5)
θ13 = θ14 − μ	(6)

Eğer mekanizma A₀AB’B₀ şeklinde (çapraz durum) monte edilmiş ise:

θ14′ = ϕ + ψ	(5′)
θ13′ = θ14 + μ	(6′)

olacaktır. Kol-sarkaç boyutlarında mekanizmalar için her θ₁₂ açısına karşı iki değişik θ₁₃ ve θ₁₄ değeri elde edilecektir. Ancak, eğer denklem (3) ve (4) te 1’den büyük bir değerin ters kosinüs fonksiyonunun değeri bulunmak istenir ise, çözüm elde edilemez. Bu, mekanizmanın verilmiş olan θ₁₂ açısında kapalı bir devre oluşturamayacağını gösterir.

Bu şekilde, konum değişkenleri değerlerini hesaplayabileceğimiz bir denklem dizisi elde etmiş bulunuyoruz.

KOL-KIZAK MEKANİZMASI

Yukarıda kol-kızak mekanizması gösterilmektedir. Konum analizi için (konum değişkenlerini bulmak için) gereken denklemler:

p cosϕ = a2cosθ12 − a1	(1)
p sinϕ = a2sinθ12	(2)

Excel paket programında ϕ nin çözümü için ATAN2(X,Y) fonksiyonu kullanılır ise her durumda doğru sonuç elde edilebilecektir.

ψ = cos-1(a4/p) s = \displaystyle \sqrt{{{{\text{p}}^{2}}-{{\text{a}}_{4}}^{2}}} θ14 = ϕ ± ψ	(3)
	(4)
	(5)

Bu denklemlerin çıkarılması okuyucuya bırakılmıştır (sıra ile A₀AB ve AB₀B üçgenlerinin çözümünü düşünmek gerekir).

ÇOK UZUVLU MEKANİZMALAR

Genellikle çok uzuvlu mekanizmalar dikkatlice incelenir ise, büyük bir kısmının dört uzuvlu devrelerden oluştuğu görülecektir. Her bir devre yukarıda üç temel mekanizma için vermiş olduğumuz yöntem ile çözülebilir. Bu durumda giriş uzvunu içeren devreden başlayarak devreler sırayla çözülebilecektir.

Yukarıda gösterilmiş olan var-gel mekanizmasını ele alalım. 1, 2, 3 ve 4 uzuvlarından oluşan A₀AB₀ devresi önceden gösterilmiş olan kol-kızak mekanizmasının a₄ = 0 durumundan başka bir şey değildir. Bu devrenin çözümünden θ₁₄ açısı ve s₄₃ elde edilebilecektir. 1, 4, 5 ve 6 uzuvlarının oluşturduğu B₀BCPB₀ devresi ise, bir krank-biyel mekanizmasıdır. Bu devrenin herhangi bir θ₁₄ açısına göre çözümü ise s₁₆ ve θ₁₅ konum parametrelerini verir. Seçilen referans eksenlerine göre konum parametrelerinin tanımına dikkat edilmesi gerekir.

Öyle ise, bilinen θ₁₂ açısına göre diğer konum değişkenleri:

s₄₃cosθ₁₄ = a₂cosθ₁₂ − a₁

s₄₃sinθ₁₄ = a₂sinθ₁₂

θ₁₅ = sin^-1 \displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{4}}\cos{{\text{θ}}_{{14}}}+{{\text{b}}_{1}}}}{{{{\text{a}}_{5}}}}} \right]

s₁₆ = a₄sinθ₁₄ + a₅cosθ₁₅

denklemleri kullanılarak elde edilebilir.

İlk iki denklem kol kızak mekanizması için A₀AB₀ üçgeninin çözümünü, son iki denklem ise krank biyel mekanizmasının (B₀BC)çözümünü vermektedir. θ₁₂ ve θ₁₄ açılarının istendiğinde dikey bir doğruya göre ölçülmeyip kolaylıkla yatay bir doğruya göre ölçülebileceği açıktır. Ayrıca θ₁₅ değeri belirlenirken ters sinüs kullanıldığından şekil ile uyumlu olabilmesi için θ₁₅ açı değeri 90° den küçük olmalıdır.

Bu kısımda açıklanmış olan yöntem pratikte birçok mekanizmanın analizinde kullanılan çok basit bir yöntemdir. Mühim olan mekanizmayı oluşturan basit devreleri belirlemek ve bu basit devrelerin her birini ayrı ayrı çözebilmektir.

Örnek:

Şekilde gösterilmiş olan garaj kapısının analizi için gerekli olan denklemleri elde edelim (Bu mekanizmanın hareketi, ilk bölümde gösterilmişti).

Şeklin AutoCad kütüğü için tıklayınız: –garajkap.dwg–

Dikkat edilir ise, bir teknik resim üzerinde bizim istediğimiz gibi ne uzuvlar numaralıdır ve nede mafsallar işaretlidir. Bunu bizim yapmamız gerekir. Öncelikle de mekanizmanın serbestlik derecesini bulalım. Mekanizma 6 uzuvlu ve 7 döner mafsala sahip olduğuna göre serbestlik derecesi F = 3(6 − 7 − 1) + 7 = 1 dir ve bağımsız devre sayısı L = 7 − 6 + 1 = 2 dir. Bundan sonra uzuvları ve mafsalları işaretleyelim ve devreleri belirleyelim.

Devreleri belirlerken gerekli olan uzuv boyutlarını verilen teknik resimden bulabiliriz. Bunlar: a₁ = |A₀B₀|, a₂ = |A₀A|, b₂ = |A₀D|, a₃ = |AB|, a₄ = |B₀B|, a₅ = |BC|, a₆ = |DC|

A₀ABB₀ devresi bir dört-çubuk mekanizmasıdır. Bu devrede θ₁₂ kol açısı bağımsız değişken olduğunu kabul eder isek dört çubuk mekanizmasında olduğu gibi şu denklemleri yazabiliriz (s = |B₀A|):

s cosϕ = −a₂cosθ₁₂

s sinϕ = a₁ − a₂sinθ₁₂

Bu iki denklemden s ve ϕ çözüldükten sonra kosinüs teoremi kullanılarak:

μ = cos^-1 \displaystyle \left( {\frac{{{{\text{a}}_{3}}^{2}+{{\text{a}}_{4}}^{2}-{{\text{s}}^{2}}}}{{2{{\text{a}}_{3}}{{\text{a}}_{4}}}}} \right)

ψ = cos^-1 \displaystyle \left( {\frac{{{{\text{a}}_{4}}^{2}+{{\text{s}}^{2}}-{{\text{a}}_{3}}^{2}}}{{2{{\text{a}}_{4}}\text{s}}}} \right)

θ₁₄ = ϕ − ψ

θ₁₃ = π − μ + θ₁₄

Dört- Çubuk mekanizmasını çözdükten sonra, BCD üçgenini ele alalım. B ve D noktaları koordinatları:

x_B = a₂cosθ₁₂ + a₃cosθ₁₃

y_B = a₂sinθ₁₂ + a₃sinθ₁₃

x_D = b₂cosθ₁₂

y_D = b₂sinθ₁₂

ss = \displaystyle \sqrt{{{{{\left( {{{\text{x}}_{\text{D}}}-{{\text{x}}_{\text{B}}}} \right)}}^{2}}-{{{\left( {{{\text{y}}_{\text{D}}}-{{\text{y}}_{\text{B}}}} \right)}}^{2}}}}

α = Atan2(x_D − x_B, y_D − y_B)

θ₁₄ = ϕ ± ψ

γ = cos^-1 \displaystyle \left( {\frac{{{{\text{a}}_{5}}^{2}+\text{s}{{\text{s}}^{2}}-{{\text{a}}_{6}}^{2}}}{{2{{\text{a}}_{5}}\text{ss}}}} \right)

η = cos^-1 \displaystyle \left( {\frac{{{{\text{a}}_{5}}^{2}+{{\text{a}}_{6}}^{2}-\text{s}{{\text{s}}^{2}}}}{{2{{\text{a}}_{5}}{{\text{a}}_{6}}}}} \right)

θ₁₅ = γ + α

θ₁₆ = θ₁₅ + η

Bu şekilde mekanizmanın tüm uzuvlarının konumları bulunmuş olur.