Ek-1   

Karmaşık Sayılar

Reel (gerçel) sayılar hayatta ağırlık, uzunluk gibi değerlerin miktarını veya boyutunu göstermek için kullanılır. Adet belirten durumlarda reel sayıların tam sayı olması gerekir. Ölçüm aletlerinde, gösterdikleri miktara göre bu sayı bir kadranda gösterilir. Kadran, bir doğru veya bir daire yayı üzerinde belirli bir uzunluğun ölçülen değerinin belirli bir değerine karşı gelecek şekilde ölçeği önceden belirlenmiş bir benzeştirme şeklidir. Öyle ise, bir reel sayı 0 noktası başlangıç noktası olan bir doğru üzerinde noktalar olarak gösterilebilir. a ve b gibi iki sayıyı toplamamız gerekiyor ise, 0 noktasından a noktası uzunluğunu işaretler ve bu noktadan başlayarak b uzunluğunu yerleştiririz. Bu bize c = a + b değerini verecektir.

Genelde 0 noktasından sağa doğru ölçülen değer pozitif reel sayı içindir. Bu durumda negatif reel sayılar aynı doğru üzerinde 0 noktasından sola doğru ölçülecek ve pozitif sayıdan (−1) oparatörü ile elde edilecektir. OA ve OA’ uzunluklarının şiddeti eşit olup birbirlerine göre 180° açı yapmaktadırlar. Yani a gibi bir pozitif sayıyı ele alır, bu sayıyı gösteren OA doğrusunu O etrafında 180° döndürür isek, OA’ noktasına yani −a ya varırız. (−1) oparatörüne bu açıdan bakdığımızda bir reel sayıya (-1) oparatörü etki ettiğinde, sayının geometrik gösterimi olan OA doğrusu O etrafında 180° dönecektir. Eğer (−1) oparatörü bir sayıya arka arkaya iki defa etki eder ise, OA değişmez çünkü 180° döndürme iki defa üst üste yapıldığından OA 360° dönmüş ve aynı noktaya gelmiştir ((−1) × (−1) = 1).

Şimdi yeni bir oparatör yaratalım ve buna i diyelim. Bu operatör bir sayıya etki ettiğinde sayıyı gösteren doğru parçasını (−1) gibi 180° değil, 90° saat yelkovanına göre ters yönde döndürsün. Eğer bu oparatör bir sayıya iki defa etki eder ise sayıyı gösteren doğru 180° (SYT) dönecektir. (−1) operatörü tanımımıza ters düşmemek için i·i = i² = −1 olmalıdır. Bu durumda i = \displaystyle \sqrt{{-1}} olması gerekir. i ile işlem görmüş bir sayı sanal sayı olarak adlandırılır.

a ve b gibi iki reel sayı düşünelim. Eğer b üzerine 90° (SYT) dönme işlemi için i operatörü etki eder ise, ib elde edilir ve yukarıda gösterildiği gibi, ib, OB’ doğrusudur ve OB uzunluğunda olup OB ye göre 90° saat yelkovanına ters yönde döndürülmüştür. Şimdi c = a + i b toplamını göz önüne alalım. Bu gösterim bize a yı gösteren uzunluk ile b yi gösteren uzunlukları göz önüne almamızı, a uzunluğuna b uzunluğunu 90° (SYT) döndürdükten sonra eklememizi söylemektedir. Geometrik olarak bu değer bize düzlemde bir P noktasının konumunu, 0 noktasına ve tanımladığımız reel eksen doğrusuna göre belirleyecektir. c karmaşık (kompleks) sayı olarak tanımlanır. c (a, b) şeklinde sıralı bir çift sayıdır ve geometrik olarak düzlemde her hangi bir noktayı gösterebilir. Karmaşık sayının reel kısmı a, sanal kısmı ise b dir. Oluşan düzleme Gauss-Argand, Cauchy düzlemi veya karmaşık sayı düzlemi denir. Öyle ise bir karmaşık sayı etkili bir şekilde düzlemde bir noktanın konumunu bir konum vektörü gibi gösterebilir. Karmaşık sayı vektör değildir (vektör operasyonları tanımlı değildir), ancak düzlemde konum vektörü olarak kullanılması çok büyük kolaylıklar getirmektedir.

Bir karmaşık sayının mutlak değeri, r, O merkezinden karmaşık sayının tanımlamış olduğu P noktasına uzaklıktır (OP) ve r = |OP| = \displaystyle \sqrt{{{{\text{a}}^{2}}+{{\text{b}}^{2}}}}  dir. Karmaşık düzlemde bu, sayının modülüdür. OP ile reel eksen arasında kalan ve daima saat yelkovanı yönüne ters ölçülen açı ise (θ), karmaşık sayının argümanıdır.

Karmaşık sayılarla ilgili şu önemli hususları belirtebiliriz:

a) İki karmaşık sayının reel ve sanal kısımları ayrı ayrı eşit ise veya modül ve argümanları aynı ise birbirlerine eşittir.

b) Karmaşık sayılar vektörel toplama kuralına uyarlar. İki karmaşık sayının toplamı reel ve sanal kısımlarının ayrı ayrı toplamı ile elde edilir. c₁ =  a₁ + ib₁ ve c₂ =  a₂ + ib₂ ise, toplam z:

z = c₁ + c₂ = (a₁ + a₂) + i(b₁ + b₂)

dir.

c) Karmaşık sayıların çarpımı ve bölümü temel cebir kurallarına göre yapılır. Burada tek fark i² = −1 olmasıdır. Karmaşık sayıyı c = a + i b şeklinde göstermek Kartezyen gösterimdir.

Şekilden:

a = r cosθ, b = r sinθ

olduğu görüldüğünden:

c = r(cosθ + i sinθ)

veya  Euler denklemi:   e^iθ = cosθ + i sinθ  kullanıldığında, c karmaşık sayısı:

c = re^iθ

olarak yazılabilir. Bu yazılım karmaşık sayının üstel ya da kutupsal ya da polar gösterimidir.

Eğer bir karmaşık sayının modülü 1 birim ise (r = 1):

u = e^iθ

dır. Bu birim vektör pozitif reel eksen ile SYT yönünde θ kadar bir açı yapmaktadır.

c = OP = r e^iθ karmaşık sayısını bir reel sayı (k) ile çarptığımızda:

c′ = OP′ = kc = kre^iθ

bu çarpım sonucu elde ettiğimiz c′ karmaşık sayısında argüman c karmaşık sayısı ile aynı olup modül kr olmuştur. Öyle ise OP uzunluğu bu reel sayı ile yapılan çarpımda “uzamış” (veya kısalmış) tır (alttaki şekil). Bir reel sayı ile çarpım uzatma operasyonu olarak tanımlanacaktır. Bu operasyon ile bir karmaşık sayının şiddeti (modülü, boyutu) yönü aynı kalmak şartı ile artırılıp eksiltilebilir.

Eğer c = re^iθ karmaşık sayısını birim vektörü gösteren bir karmaşık sayı, u = e^iϕ ile çarpar isek:

c″ = OP″ = u·c = e^iϕ·re^iθ

dır. Temel cebir kurallarını uyguladığımızda (aynı tabanlı iki sayı çarpıldığında üstler toplanır):

c″ = re^{i(θ + ϕ)}

olacaktır. Şimdi ise, c vektörünün şiddeti aynı kalmış açısı ise θ iken bu çarpım ile θ + ϕ olmuştur. Başka bir deyiş ile OP vektörü O merkezinden SYT yönünde ϕ açısı kadar dönmüştür (üstteki şekil). Bu durumda, e^iϕ ile çarpım bir döndürme operasyonudur ve e^iϕ bir döndürme operatörüdür. Dikkat edilir ise e^iπ/2 = i   ve  e^iπ = e^{i(π/2 + π/2)} = e^iπ/2·e^iπ/2 = i·i = −1  dir ve bu birim vektörler karmaşık sayı ile çarpıldığında vektörü sırası ile 90° ve 180° SYT yönünde döndürür. Yani e^iϕ dönme operatörü önceden tanımlamış olduğumuz i ve −1 operatörlerini de içermektedir.

Bir karmaşık sayının karmaşık eşleniğinde reel ve sanal kısımlarının şiddeti karmaşık sayı ile aynıdır, ancak karmaşık eşleniğin sanal kısmı karmaşık sayı ile ters işaretlidir. Yani c = a + ib ise,bu karmaşık sayının karmaşık eşleniği \displaystyle \mathbf{\bar{c}} = a − ib dir veya polar gösterimde c = re^iθ ise, karmaşık eşlenik \displaystyle \mathbf{\bar{c}} = re^−iθ olur (alttaki şekil).

Bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği reel eksene göre karmaşık sayının ayna görüntüsüdür.

Karmaşık eşlenik kullanılarak:

r² = c \displaystyle \mathbf{\bar{c}} = (a + ib)(a − ib) = a² + b²

Karmaşık sayının reel kısmı:

Re(c) = (c + \displaystyle \mathbf{\bar{c}} )/2 = (a + ib + a − ib)/2 = a

Karmaşık sayının sanal kısmı:

Im(c) = (c − \displaystyle \mathbf{\bar{c}} )/(2i) = (a + ib − a + ib)/(2i) = b

c₁ =  a₁ + ib₁ = r₁e^iθ₁ ve c₂ = a₂ + ib₂ = r₂e^iθ₂ ise karmaşık sayılarının birbirleri ile bölümü:

\displaystyle \frac{{{{\mathbf{c}}_{1}}}}{{{{\mathbf{c}}_{2}}}}=\frac{{{{\text{a}}_{1}}+\text{i}{{\text{b}}_{1}}}}{{{{\text{a}}_{2}}+\text{i}{{\text{b}}_{2}}}}

Bu terimi sadeleştirmek için pay ve paydayı, payın karmaşık eşleniği ile çarptığımızda:

\displaystyle \frac{{{{\mathbf{c}}_{1}}}}{{{{\mathbf{c}}_{2}}}}=\frac{{{{\text{a}}_{1}}+\text{i}{{\text{b}}_{1}}}}{{{{\text{a}}_{2}}+\text{i}{{\text{b}}_{2}}}}\cdot \frac{{{{\text{a}}_{2}}-\text{i}{{\text{b}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{2}}-\text{i}{{\text{b}}_{2}}}}=\frac{{{{\text{a}}_{1}}{{\text{a}}_{2}}+{{\text{b}}_{1}}{{\text{b}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{2}}^{2}+{{\text{b}}_{2}}^{2}}}+\text{i}\frac{{{{\text{b}}_{2}}{\text{b}_{1}}-{{\text{a}}_{1}}{{\text{b}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{2}}^{2}+{{\text{a}}_{2}}^{2}}}

olur. Üstel gösterim kullanıldığında bölme işlemi çok daha basit bir şekilde yapılır:

\displaystyle \frac{{{{\mathbf{c}}_{1}}}}{{{{\mathbf{c}}_{2}}}}=\frac{{{{\text{r}}_{1}}{{\text{a}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{1}}}}}}}{{{\text{r}_{2}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{2}}}}}}}=\frac{{{{\text{r}}_{1}}}}{{{{\text{r}}_{2}}}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{1}}}}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{2}}}}}=\frac{{{{\text{r}}_{1}}}}{{{{\text{r}}_{2}}}}{{\text{e}}^{{\text{i}\left( {{{\text{θ}}_{1}}-{{\text{θ}}_{2}}} \right)}}}