2.1 Mekanizma Serbestlik Derecesi-2

Bir önceki kısımda serbestlik derecesinin mekanizma uzuv boyutlarına bağlı olmadığını görmüştük. Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsalların serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz. Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım:

λ : Uzay Serbestlik Derecesi

(Düzlemsel uzaylar için λ = 3 ; genel uzay için λ = 6)

l : Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil)

j : Mekanizmada mafsal sayısı

f_i : i mafsalının serbestlik derecesi

F : Mekanizma serbestlik derecesi

l sayıda uzvun λ serbestlik dereceli uzayda herhangi bir kinematik çift ile birbirlerine bağlanmadan durduklarını düşünelim. Bu durumda sabit uzuv hariç, diğer l − 1 uzvun her biri için λ sayıda parametre tanımlamamız gerekir (sabit uzva referans koordinat sistemi bağlı olduğundan sabit uzvun konumu sabittir). Öyle ise hiç bir mafsal olmadığında uzuvların konumu:

λ(l − 1)

(1)

parametre ile belirlenecektir.

Şimdi mafsalları bir örnekle göz önüne alalım. Şekilde düzlemde hareket eden dört uzuv gösterilmektedir. Bu uzuvlar arasında hiç bir bağlantı yok iken uzuvların konumunu belirlemek için 3×4 = 12 parametre gerekir (A). Eğer 2 uzvu ile 4 ve 5 uzuvları arasında döner mafsal, 2 ve 3 uzvu arasında ise kamalı silindir mafsalı oluşuyor ise, 2 uzvunun konumunu belirlemek için yine üç parametreye ihtiyaç vardır. Ancak bu üç parametre belirlendikten sonra 4 uzvunun mafsal ile birleştirilmiş olduğu B noktası artık bilindiğinden, 4 uzvunun konumu dönme açısı tanımlandığında (ψ açısı – 1 parametre) belirlidir. Benzer bir şekilde 5 uzvu döner mafsal ile A noktasında 2 uzvuna birleştirildiğinden 2 uzvuna göre sadece dönme hareketi yapabilecektir (ϕ açısı – 1 parametre). 3 uzvu kamalı silindir ile birleştirildiğinden 3 uzvu üzerinde D noktası 2 uzvu üzerinde kanal ekseni boyunca öteleyebildiği gibi, düzleme dik bir eksen etrafında dönebilecektir. Öyle ise 2 uzvunun konumunu belirlemek için 2 parametreye ihtiyaç bulunmaktadır (s ve ζ parametreleri). Başlangıçta 12 parametre gerektiren bu uzuvlar şimdi sadece 7 parametre kullanılarak konumları belirlenebilmektedir. Döner mafsallarda iki, kamalı silindirde ise bir parametre eksik tanımlanabilmiştir.

Uzay serbestlik derecesi λ olan bir uzayda f_i serbestliği olan bir mafsal, (λ − f_i) kadar hareket serbestisini önler ve cisimlerin serbest olduğu duruma nazaran bu kadar parametreyi tanımlamamız gerekmez. Eğer her bir mafsalın engellediği hareket serbestisi diğer mafsaldan farklı ise, mekanizmada bulunan j mafsal ile uzuv hareketleri üzerine getirilecek olan toplam sınırlama:

\displaystyle {\sum\limits_{{\text{i}=1}}^{\text{j}}{{\left( {\lambda -{\text{f}_\text{i}}} \right)}}=\text{λ} \text{j}-\sum\limits_{{\text{i}=1}}^{\text{j}}{{{{\text{f}}_{\text{i}}}}}}

(2)

olacaktır. Bu durumda mekanizmada bulunan uzuvların konumlarını belirlemek için gereken parametre sayısı hiç bir mafsal olmadığında gereken parametre sayısından mafsalların sınırladığı serbestliklerin çıkarılması ile elde edilir. Öyle ise:

F = Serbest uzuvlar için gerekli parametre sayısı (1) – Mafsalların getirdiği sınırlamalar (2)

\displaystyle {\text{F}=\text{λ} \left( {l-1} \right)-\left( {\text{λ}\text{j}-\sum\limits_{{\text{i}=1}}^{\text{j}}{{{{\text{f}}_{\text{i}}}}}} \right)}

veya

\displaystyle {\text{F}=\text{λ} \left( {l-\text{j}-1} \right)+\sum\limits_{{\text{i}=1}}^{\text{j}}{{{{\text{f}}_{\text{i}}}}}}

Son elde ettiğimiz denkleme mekanizma serbestlik derecesi denklemi  diyeceğiz.

Serbestlik derecesi denklemi, birçok mekanizma için geçerli ise de bu denkleme uymayan mekanizmalar da bulunmaktadır. Bunun nedeni bu denklemin elde edilişi sırasında yapılmış olan varsayımlardır. Bu varsayımların en önemlisi mafsalların getirmiş olduğu hareket sınırlamalarının birbirlerinden bağımsız olmasıdır. Ancak uzuv boyutlarının belirli değerler alması durumunda bu varsayım geçerli olmayabilir ve mekanizma serbestlik derecesi denklemi bazı mekanizmalar için doğru sonuçlar vermeyebilir. Bu özel durumları görmeden önce denklemin geçerli olduğu mekanizmaların incelenmesinde yarar bulunmaktadır.