4.2 Mekanizmalarda Hız ve İvme Analizi -4

Örnek:

Şekilde gösterilmiş olan mekanizma saman balyalama makinasında kullanılmıştır. 6 uzvu üzerinde bulunan F noktasının konum, hız ve ivmesini giriş kolu 4 rad/s sabit açısal hız ile dönerken her açıda bulmak istiyoruz.

Bu problemde konum analizi için üçgen çözümleri kullanılacak, hız analizi için ise matris çözümü uygulanacaktır.

C₀B = x_B + iy_B = −b₁ − a₂cosθ₁₂ + i(a₁ − a₂sinθ₁₂)

Görüldüğü gibi, x_B ve y_B B noktasının C₀ noktasına göre, pozitif x ekseni QC₀ olmak üzere, koordinatlarıdır. C₀B vektörünü dik koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüştürdüğümüzde:

C₀B = s∠ϕ

s = \displaystyle \sqrt{{{{\text{x}}_{\text{B}}}^{2}+{{\text{y}}_{\text{B}}}^{2}}}          ϕ = atan2(x_B, y_B)

olacaktır. BCC₀ üçgeninde ∠BC₀C = β ve ∠BCC₀ = μ₁ dersek, kosinüs teoremine göre bu açılar:

β = cos^-1\displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{s}}^{2}}+{{\text{a}}_{4}}^{2}-{{\text{a}}_{3}}^{2}}}{{2{{\text{s}}_{4}}\text{s}}}} \right]

μ₁ = cos^-1\displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{3}}^{2}+{{\text{a}}_{4}}^{2}-{{\text{s}}^{2}}}}{{2{{\text{a}}_{3}}{{\text{a}}_{4}}}}} \right]

olacaktır. θ₁₄ ve θ₁₃ açıları:

θ₁₄ = ϕ − β        ve       θ₁₃ = θ₁₄ − μ₁

olacaktır. Burada θ₁₄ = ϕ − β alınması, incelenmekte olan dört-çubuk mekanizmasının bağlantı şekline uygundur. Şimdi A ve D noktalarının C₀ noktasına göre konumlarını belirleyelim.

C₀A = x_A + iy_A = −b₁ + a₂cosθ₁₂ + i(a₁ + a₂sinθ₁₂)

C₀A = x_D + iy_D = a₄cosθ₁₄ + b₃cosθ₁₃ + i(a₄sinθ₁₄ + b₃sinθ₁₃)

DA = C₀A − C₀D = r∠χ dersek r = \displaystyle \sqrt{{{{{\left( {{{\text{x}}_{\text{A}}}-{{\text{x}}_{\text{D}}}} \right)}}^{2}}+{{{\left( {{{\text{y}}_{\text{A}}}-{{\text{y}}_{\text{D}}}} \right)}}^{2}}}}  ve  χ = atan2(x_A − x_D, y_A − y_D) olur. Bu şekilde bir kenarının boyutunu bulduğumuz ADE üçgeninde ∠ADE = γ ve ∠AED = μ₂ dersek, kosinüs teoremine göre bu açılar:

γ = cos^-1\displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{r}}^{2}}+{{\text{a}}_{5}}^{2}-{{\text{a}}_{6}}^{2}}}{{2{{\text{a}}_{5}}\text{r}}}} \right]

μ₂ = cos^-1\displaystyle \left[ {\frac{{{{\text{a}}_{5}}^{2}+{{\text{a}}_{6}}^{2}-{{\text{a}}^{2}}}}{{2{{\text{a}}_{5}}{{\text{a}}_{6}}}}} \right]

olacaktır. Bulunan bu değerler kullanılarak θ₁₅ ve θ₁₆ açıları:

θ₁₅ = χ − γ        ve       θ₁₆ = θ₁₅ − μ₂

F noktasının A₀ noktasına göre konum vektörü:

A₀F = A₀A + AE + EF

veya karmaşık sayılar ile:

A₀F = x_F + iy_F = a₂e^iθ₁₂ + a₆e^iθ₁₆ + b₆e^{i(θ₁₆ + ζ + π)}

Bu denklemden:

x_F = a₂cosθ₁₂ + a₆cosθ₁₆ − b₆cos(θ₁₆ + ζ)

y_F = a₂sinθ₁₂ + a₆sinθ₁₆ − b₆sin(θ₁₆ + ζ)

Verilen bir θ₁₂ krank açısından başlayarak yukarıda verilmiş olan denklemler sıra ile çözülerek F noktasının konumu bulunabilir. Dikkat edilir ise, elde edilmiş olan bir çözüm algoritmasıdır ve sayısal olarak bu algoritmanın uygulanabileceği çeşitli programlama ortamında kullanılabilir. Örneğin Excel, Mathcad, Matlab gibi matematik işlem ağırlıklı paket programları veya Basic ve C gibi bilgisayar lisanları kullanarak kolaylıkla bu denklemlerle bir algoritma yapısı içinde bilgisayarda çözüm yapabilir ve sayısal değerler elde edebiliriz. Şekilde F noktasının yörüngesi görülmektedir (A₀ merkez olarak) (yörünge üzerinde × ile işaretlenen nokra θ₁₂ = 90° deki konumdur).

F noktasının yörüngesi

Hız ve ivme analizi için kullanılmak üzere katsayı matrisi karmaşık sayılar ile:

A = \displaystyle \left[ {\begin{array}{cccc} {\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} & {-\text{i}{{\text{a}}_{4}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{14}}}}}}} & 0 & 0 \\ {-\text{i}{{\text{a}}_{3}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} & {\text{i}{{\text{a}}_{4}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{14}}}}}}} & 0 & 0 \\ {\text{i}{{\text{c}}_{3}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} & 0 & {\text{i}{{\text{a}}_{5}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{15}}}}}}} & {-\text{i}{{\text{a}}_{6}}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{16}}}}}}} \\ {-\text{i}{{\text{c}}_{3}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}} & 0 & {-\text{i}{{\text{a}}_{5}}{{\text{e}}^{{-\text{θ}{{\text{θ}}_{{15}}}}}}} & {\text{i}{{\text{a}}_{6}}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{16}}}}}}} \end{array}} \right]

dir. Hız denklemi:

AΩ = b

olup burada:

Ω = [ω₁₃   ω₁₄   ω₁₅   ω₁₆]^T          ve        b = [ia₂ω₁₂e^iθ₁₂   −ia₂ω₁₂e^−iθ₁₂   2ia₂ω₁₂e^iθ₁₂  −2ia₂ω₁₂e^−iθ₁₂]^T

dir. Benzer bir şekilde, ivme denklemi:

Aα = c

olup  α = [α₁₃  α₁₄  α₁₅  α₁₆]^T   ve  (ω₁₂ sabit olduğu için α₁₂ = 0)

c = \displaystyle \left[ {\begin{array}{c} {-{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}+{{\text{a}}_{3}}{{\text{ω}}_{{13}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}-{{\text{a}}_{4}}{{\text{ω}}_{{14}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{14}}}}}}} \\ {-{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}+{{\text{a}}_{3}}{{\text{ω}}_{{13}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}-{{\text{a}}_{4}}{{\text{ω}}_{{14}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{14}}}}}}} \\ {-2{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}+{{\text{c}}_{3}}{{\text{ω}}_{{13}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}+{{\text{a}}_{5}}{{\text{ω}}_{{15}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{15}}}}}}-{{\text{a}}_{6}}{{\text{ω}}_{{16}}}^{2}{{\text{e}}^{{\text{i}{{\text{θ}}_{{16}}}}}}} \\ {-2{{\text{a}}_{2}}{{\text{ω}}_{{12}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{12}}}}}}+{{\text{c}}_{3}}{{\text{ω}}_{{13}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{13}}}}}}+{{\text{a}}_{5}}{{\text{ω}}_{{15}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{15}}}}}}-{{\text{a}}_{6}}{{\text{ω}}_{{16}}}^{2}{{\text{e}}^{{-\text{i}{{\text{θ}}_{{16}}}}}}} \end{array}} \right]

dır. Uzuvların açısal hız ve ivmeleri devre hız ve ivme denklemlerinden çözüldükten sonra F noktasının hız ve ivmesi A₀F konum vektörünün birinci ve ikinci türevlerinin alınması ile belirlenir:

v_F = ia₂ω₁₂e^iθ₁₂ + iω₁₆e^iθ₁₆(a₆ − b₆e^iζ)

a_F = ia₂ω₁₂²e^iθ₁₂ + iα₁₆e^iθ₁₆(a₆ − b₆e^iζ) − iω₁₆²e^iθ₁₆(a₆ − b₆e^iζ)

Bu karmaşık denklemlerin her an reel ve sanal kısımları ayrı ayrı yazılması mümkündür. Ayrıca istenir ise, matris hız ve ivme denklemlerinin uzuvların açısal hız ve ivmelerine göre ayrı ayrı çözülmesi de mümkündür (Matris denklemleri incelendiğinde, ilk iki hız denkleminden ω₁₃ ve ω₁₄ doğrudan ω₁₂ ye göre çözülebilir. Son iki hız denkleminden ise ω₁₅ ve ω₁₆, ω₁₃ ve ω₁₂ ye göre çözülebilir. Aynı durum açısal ivme için söz konusudur).

Tüm çevrim için hız ve ivmenin polar diyagramı aşağıda (a) ve (b) şekillerinde gösterilmiştir (× ile gösterilen nokta kol açısının 90° olduğu konumdur). Hız ve ivme mm/s ve mm/s² olarak ölçülmüştür.

(a) Polar hız diyagramı

(b) Polar ivme diyagramı

Mekanizmanın konum analizi için hazırlanmış olan eksel kütüğü buradadır: –BalyalamaMek.xls-. Bu kütüğü kullanarak (isterseniz Sheet2 sayfasında, veya aynı sayfada) Balyalama mekanizmasının hız ve ivme analizini yapın ve polar hız ve ivme diyagramlarını çizin. 

Kol açısının 90° olduğu verilen konumda grafik analiz yaptığımızda, 2 uzvu sabit bir hızda (ω₁₂ = 4 rad/s) döndüğüne göre A ve B noktalarının merkezden uzaklığı ile açısal hız çarpılarak v_A = v_B = 728 mm/s olarak elde edilir. v_A sola doğru iken, v_B hız vektörü sağa doğru olacaktır. k_v = 0.5 mm/(mm/s) olan bir ölçek kullanarak bu bilinen hız vektörlerini çizelim. 1, 2, 3 ve 4 uzuvlarından oluşan devre göz önüne alındığında bu devrenin türevinden elde edilecek olan hız devre denkleminin vektörel gösterimi:

v_C = v_B + v_C/B

olarak yazılabilir. v_C/B, CB doğrusuna dik ve v_C, CC₀ doğrusuna dik olacaktır. Verilen konumda BA₀ ve CC₀ paralel olduğundan, v_C ve v_B eşit olup v_C/B = 0 ve ω₁₃ = 0 olmalıdır. Bu durumda v_D = v_C = v_B dir. Bundan sonra 5 ve 6 uzuvları üzerinde daima çakışan noktalar olan E noktasını göz önüne alalım. D ve E noktaları 5 uzvu üzerinde olduğuna göre:

v_E = v_D + v_E/D

yazılabilir. Benzer bir şekilde A ve E noktaları 6 uzvu üzerinde olduğundan:

v_E = v_A + v_E/A

yazılabilir. v_D ve v_A hız vektörlerinin şiddetleri ve yönleri biliniyor isede v_E/D ve v_E/A bağıl hız vektörlerinin yönlerinin sırası ile ED ve EA doğrularına dik oldukları söylenebilir. Bu iki vektör denklemi ayrı ayrı E noktasının hızını bulmak için yeterli değil isede her iki denklemin sağ tarafları birbirlerine eşitlendiğinde ilk olarak v_E/D ve v_E/A bağıl hız vektörlerinin şiddeti sonrada çakışma noktasından dolayı v_E hız vektörü bulunur. F noktasının hızı için ise Mehmke teoremi kullanılabilir veya

v_F = v_E + v_F/E

v_F = v_A + v_F/A

denklemlerine ortak çözüm yapılır. Sonuç aşağıda görüldüğü gibidir.

Grafik hız analizi

İvme analizi için ise, hız analizinda kullandığımız noktalar aynen kullanılmalı, ancak bu noktaların ivmeleri normal ve teğetsel ivmeler olarak bileşkeleri kullanılarak yazılmalıdır. 2 uzvu sabit bir hızda döndüğünden, A ve B noktalarının teğetsel ivmeleri yoktur. (a_A = aⁿ_A, a_B = aⁿ_B). Bu durumda her ikisi de dönme merkezine doğru olmak üzere A ve B noktalarının ivme şiddetleri a_A = a_B =  2912 mm/s² olarak bulunur. k_a = 0.2 mm/(mm/s²) olarak bir ölçek kullanarak bu vektörleri çizelim (üstteki şekil). Şimdi C noktasının ivmesini, B noktasının ivmesi ve bağıl ivme olarak yazalım:

aⁿ_C + a^t_C = aⁿ_B + aⁿ_C/B + a^t_C/B

aⁿ_C normal ivmesi CC₀ yönünde C₀ a doğru olup şiddeti: ω₁₃²|CC₀| = v_C²/|CC₀| = 1045 mm/s² dir. Bu konum için ω₁₃ = 0 olduğundan aⁿ_C/B = 0 olacaktır. a^t_C ve a^t_C/B sırası ile CC₀ ve CB doğrularına diktir (şiddetleri bilinmemektedir). Bu doğruların ivme poligonunda çizilerek çakışma noktalarının belirlenmesi bilinmeyen a^t_C ve a^t_C/B ivme şiddetlerini verir. Dikkat edilir ise ω₁₃ = 0 olması açısal ivmenin sıfır olmasını gerektirmeyecektir. Yani α₁₃ ≠ 0. a^t_D/B bulunabilir (α₁₃ = a^t_C/B/|CB| açısal ivme bulunur ve a^t_D/B = α₁₃|DB| dir). ω₁₃ = 0 olduğundan aⁿ_D/B = 0 olacaktır. Böylece a_D ivmesi bulunur . E noktası için hız analizinde olduğu gibi:

a_E = a_D + aⁿ_E/D + a^t_E/D

ve

a_E = a_A + aⁿ_E/A + a^t_E/A

yazılabilir.

aⁿ_E/D = ω₁₅²|ED|= v_E/D²/|ED| = 1366 mm/s²   (ED yönünde D ye doğru)

aⁿ_E/A = ω₁₆²|EA| = v_E/A²/|EA| = 1269 mm/s²   (EA yönünde A ya doğru)

Teğetsel ivme bileşenleri a^t_E/D ve a^t_E/A sırası ile ED ve EA doğrularına diktir (şiddetleri bilinmemektedir). Her iki denklem için ortak çözüm yapılarak önce bu bağıl teğetsel ivmelerin şiddeti bulunur ve sonra vektörel toplamla E noktasının ivmesi belirlenir. F noktasının ivmesini bulmak için ise Mehmke teoreminden yararlanılabilir (ivme poligonunda aef üçgeni, mekanizmada 6 uzvu üzerinde AEF üçgeni ile benzerdir). Sonuç şekilde görülmektedir. Sayısal olarak a_F = 1075.5/0.2 = 5378 mm/s² aşağıya doğru elde edilmiştir.

İvme analizi

Mekanizmanın AutoCad kütüğü: –SamanBalyalama.dwg–