7.5 Dört Çubuk ve Krank-Biyel Mekanizmaları Eşlenikleri: Robert- Çebişev Teoremi

Bir dört-çubuk veya bir krank-biyel mekanizmasında temel sorunumuz bir biyel eğrisi ise, aynı biyel eğrisini çizen başka dört-çubuk veya krank-biyel meka-nizması boyutları bulmamız mümkündür. Aynı biyel eğrisini veren farklı uzuv boyutlarına sahip dört çubuk mekanizmalarına birbirlerinin eşleniği diyeceğiz. Bu eşleniklerin bulunması için geçerli kural Robert-Çebişev teoremi ile verilmektedir:

Robert-Çebişev Teoremi

Aynı biyel eğrisini çizen değişik uzuv boyutları olan üç değişik dört-çubuk mekanizması vardır.

Şekilde gösterilen dört-çubuk mekanizmasını ele alalım (|A₀B₀| = a₁, |A₀A| = a₂, |AB| = a₃, |B₀B| = a₄, |AP| = b₃, |BP| = c₃ tür). P biyel noktası gösterilen bir biyel eğrisini çizmektedir. Bu mekanizma için devre kapalılık denklemi:

a₂e^iθ₁₂ + a₃e^iθ₁₃ = a₁ + a₄e^iθ₁₄

(1)

P biyel noktasının her hangi θ₁₂ açısı için kompleks konum vektörü:

Z_P = a₂e^iθ₁₂ + b₃e^{i(θ₁₃+α)}

(2)

veya

Z_P = a₁ + a₄e^iθ₁₄ + c₃e^{i(θ₁₃+π−β)}

(3)

ile tanımlanır. Dikkat edilir ise (2) ve (3) denklemlerinde bulunan bağımlı konum değişkenleri θ₁₃ ve θ₁₄ her krank açısı θ₁₂ için (1) numaralı devre kapalılık denkleminden 3. kısımda açıklandığı gibi çözülür.

Eşleniklerin bulunması:

Aynı biyel eğrisini çizen dört-çubuk mekanizmaları:

A₀ABB₀ (P, AB uzvu üzerinde)

C₀C₁A₁A₀ (P, C₁A₁ uzvu üzerinde)

C₀C₂B₁B₀ (P, C₁B₁ uzvu üzerinde)

Şimdi, C₀ noktasının konumu :

A₀C₀ = A₀A₁ + A₁C₁ + C₁C₀

veya

A₀C₀ = A₀B₀ + B₀B₁ + B₁C₂ + C₂C₀

şeklinde yazılabilir. Kompleks sayılar kullanarak ve yukarıda elde edilmiş olan açısal ve boyutsal eşitliklikleri göz önüne alarak her iki denklem:

A₀C₀ = b₃e^{i(θ₁₃+α)} + (a₂b₃/a₃)e^{i(θ₁₂+α)} − (a₄b₃/a₃)e^{i(θ₁₄+α)}

(4)

veya

A₀C₀ = a₁ + c₃e^{i(θ₁₃+π−β)} + (a₂c₃/a₃)e^{i(θ₁₂+π−β)} + (a₄c₃/a₃)e^{i(θ₁₄−β)}

(5)

şeklinde yazılabilir. Elde edilen (4) denkleminde sağ tarafta bulunan terimleri b₃/a₃e^iα ve (5) denkleminde sağ tarafta bulunan terimleri c₃/a₃e^i(π−β) parantezine alır isek:

A₀C₀ = b₃/a₃e^iα(a₂e^iθ₁₂ + a₃e^iθ₁₃ − a₄e^iθ₁₄)

(6)

veya

A₀C₀ = a₁ + c₃/a₃e^i(π−β)(a₂e^iθ₁₂ + a₃e^iθ₁₃ − a₄e^iθ₁₄)

(7)

olacaktır. Denklem (1) göz önüne alındığında parantez içinde bulunan terimlerin toplamı a1 değerine eşittir ve C₀ sabit bir nokta olacaktır, diğer iki dört-çubuk mekanizmasının devre kapalılık denklemleri, eğer ilk mekanizmanın devre kapalılık denklemi (1) sağlanıyor ise, sağlanmış olacaktır. C₀ sabit noktası konum vektörü a₁b₃/a₃e^iα, θ₁₂, θ₁₃ ve θ₁₄ denklem (1) e göre ilintili olmak üzere, her üç dört çubuk mekanizmasının P biyel noktası aynı konumda olacak ve aynı biyel eğrisini çizecektir. Böylece Robert-Çebişev teoremi ispat edilmiş olur.

Gösterilen yöntem diğer dört-çubuk mekanizmalarının hem boyutlarını ve hemde birbirlerine göre konumlarını belirlemektedir. Sadece uzuv boyutlarını bulmak için daha basit bir yöntem kullanılabilir. Bunun için ele alınan dört-çubuk mekanizmasında sabit uzuv boyutunu ihmal ederek A₀ABB₀ noktaları bir doğru olacak şekilde hareketli uzuvları uzatalım. Robert-Çebişev teoremi böyle bir (hareketsiz) mekanizma içinde geçerli olduğundan aynı grafik kurallar kullanılarak yapılabilir ancak bu durumda yeni sabit uzuv boyutu: a′₁ = a₂ + a₃ + a₄ dir. Sonuç yukarıda da görülmektedir. Yeni C₀ noktasının konumu ise:

A₀C₀ = a₁b₃/a₃e^iα = a₁ + a₁c₃/a₃e^i(π−β) , |A₀C₀| = a₁b₃/a₃ , |B₀C₀| = a₁c₃/a₃

olacak şekilde belirlenir. Üç eşlenik dört-çubuk mekanizması elde edildikten sonra, dikkat edilir ise, P noktasında bir döner mafsal olduğu durumda her üç dört-çubuk mekanizması döner mafsallarla birbirlerine bağlı olduğu halde, paralelogram yapıdan dolayı yine hareket edeceklerdir. Şekilde elde edilen mekanizma 10 uzuvlu ve 14 döner mafsallı (6 tekli, 4 çiftli döner mafsal) olup serbestlik derecesi denklemine göre serbestlik derecesi −1 olduğu halde, hareket edebilir. Mekanizma daimi kritik haldedir.

Eşlenik mekanizmalar, uygun bir biyel eğrisi elde edildiğinde tasarımcaya üç değişik boyuta sahip dört-çubuk mekanizması olanağı vermesi açısından önemlidir. Eşlenik mekanizmaların bir başka kullanım şekli ise, bu mekanizmalardan yararlanarak bir uzvun her noktası aynı biyel eğrisini çizerek öteleme yapan altı uzuvlu bir mekanizmanın tasarımının yapılabilmesidir. Bu mekanizmanın bir uzvu sadece öteleme yapacak, bu uzuv üzerinde alınan herhangi bir doğru ilk konumuna daima paralel kalacaktır.

Örnek:

Şekilde görülmekte olan mekanizma Çebişev lambda mekanizması veya Hoecken doğrusal hareket mekanizması olarak bilinmektedir. P biyel noktası krankın belirli bir dönme aralığında yaklaşık olarak bir doğru çizer. Uzuv boyutları oranı: |AB| = |BP| = |B₀B| = 2.5|A₀A|, |A₀B₀| = 2|A₀A| dır. Bu mekanizmadan yola çıkarak bir uzvu yaklaşık olarak doğrusal öteleme yapan altı uzuvlu bir mekanizma elde etmek istiyoruz. yöntem aşağıda açıklanmaktadır.

Elde edilmiş olan bu 6 uzuvlu mekanizma arazide gidecek bir aracın suspansiyon sıstemi olarak kullanılabilir. Bu durumda her hangi bir teker bir çukura veya tümseğe geldiğinde, diğer tekerleri etkilemeden, yere dik olacak şekilde yukarı-aşağı hareket edebilecektir.

Krank biyel mekanizması eşleniği

Krank biyel mekanizmalarında aynı biyel eğrisini çizen iki değişik krank-biyel mekanizması boyutu bulunmaktadır. Verilen bir krank-biyel mekanizmasının eşleniğini bulmak için geometrik olarak:

PA₁//AA₀ ve A₀A₁//PA olacak şekilde PA₁ ve A₀A₁doğrularını çizip A₁ noktasını belirleyin.
ΔPA₁C₁ üçgenini ΔPAB üçgenine benzer olacak şekilde çizin (∠A₁PC₁ = ∠ABP olacaktır).

Dört çubuk mekanizmasında olduğu gibi, A₀AB bir doğru üzerinde olacak şekilde yerleştirilerek aynı işlem yapılabilir. Bu durumda eşlenik uzuv boyutları daha kolay elde edilirse de uzuvların birbirlerine göre konumları elde edilemez.

Tasarımcının bir uygulamada temel hedefi bir biyel eğrisi ise, elde edilen eşlenik mekanizmaları ilk kullandığı mekanizmanın yerine kullanabilir. Kullanacağı bu mekanizmanın uzuv boyutları oranı veya bağlama açısı daha iyi olabileceği gibi, mekanizmanın makinada yerleştirilmesi daha kolay olabilir.