3.6 Devre Kapalılık Denklemlerinin Konum Değişkenleri İçin Çözümü

Önceki kısımda gördüğümüz gibi, geometrik olarak devre kapalılık denklem-lerinin çözümü yeterli parametresi verilmiş olan bir üçgenin diğer parametrelerinin be-lirlenmesinden ibarettir. Analitik geometri derslerinden bildiğimiz gibi, üçgen bağ-lantıları aynı zamanda analitik olarak ifade edilerek analitik çözümde yapılabilir. Bu yaklaşımda, tıpkı geometrik yöntemde olduğu, gibi etap etap konum parametrelerinin belirlenmesine çalışılacak ve bunun için seri olarak çözülebilecek bir dizi denklem elde edilecektir. Her bir konum parametrisinin sadece bağımsız parametreye göre belirlen-mesine çalışılmayacaktır. Yani, bu çalışma sonrası konum parametrelerini bağımsız parametre değerine göre bulabileceği bir "algoritma" elde edilecektir. Bu algoritmayı ister bir hesap makinası ile ister özel bir program yazarak veya ister isek çeşitli paket programlarda kolaylıkla çözmemiz mümkün olacaktır.

İlk örnek olarak yukarıda görülen bir krank-biyel mekanizmasını ele alalım. Bi-linen uzuv boyutlarını a1, a2, a3 olarak gösterelim. Amacımız 3 ve 4 uzuvlarının her hangi bir krank açısı, 12, değeri için bulmaktır.

Vektör devre denklemi:

A0A = A0B + BA

Bu vektörler tanımlanmış olan sabit ve değişken parametrelerle yazıldığında:

A0A = a2(cos12 i + sin12 j)

A0B = xi + a1j

BA = a3(cos13 i + sin13 j


olacaktır.

x ve y bileşenleri ayrı ayrı birbirlerine eşitlendiğinde, devre kapalılık denklemi iki skaler denkleme dönüşecektir:

a2cos12 = s14 + a3cos 13 (1)
a2sin 12 = a1 + a3sin 13 (2)


Bu denklemleri bilinmeyen konum parametreleri için yeniden yazdığımızda:

(3)
(4)


Verilen giriş kol açısı 12 değerine göre, 13 değişken değeri (3) denkleminden, s14 ise (4) denkleminden çözülebilecektir. s14 değişken değeri 13 değeri (3) denkleminden bulunduktan sonra bulunabilir. Her hangi bir C noktasının koordinatlarını, C (xc, yc), bulmak istediğimizde A0C = xci+ycj konum vektörü A0C = A0B + BC olarak yazılıp x ve y bileşenleri ayrı ayrı eşitlendiğinde:

xc = s14 + b3cos(13 -3) (5)
yc = a1 + b3sin(13 -3) (6)


(5) ve (6) numaralı denklemler (3) ve (4) numaralı denklemler çözüldükten sonra ele alınabilir.

Şu ana kadar göz önüne alınmamış olan çok önemli bir konu bulunmaktadır. Bu, (3) denkleminde 13 konum değişkeninin verilen her hangi bir 12 açısı için çözümü sırasında denklemi sağlayan iki farklı değerde olabileceğidir. Bunun nedeni kullanılacak olan invers sinus fonksiyonu çift değerlidir. Yani sinus açısı karşı kenarın hipotenüse oranı olduğundan, verilen bir sin( ) değerini açısı sağladığı gibi (1800-) açısıda sağlayacaktır. Bu açılardan hangisinin mevcut mekanizma için geçerli olduğu, kullanıcı tarafından belirlenmesi gerekir, çünkü Yukarıda gösterilmiş olan mekanizma uzuv boyutları aynı olmak üzere, aynı 12 krank açısında istenilir ise, aşağıda gösterildiği gibi farklı bir şekilde de monte edilebilir. Matematiğin mekanizmayı nasıl monte ettiğimizi bilmesine imkan yoktur.

Krank biyel mekanizmasının aynı krank açısında farklı monte edilişi

Devre kapalılık denklemi kullanarak elde ettiğimiz konum parametreleri ara-sındaki ilişki lineer değildir. Bu nedenle her mekanizma için geçerli bir yöntem söylemek mümkün değildir. Yaklaşım genelde üçgenlerin belirlenerek bu üçgenlerin gerekli parametrelere göre çözümünü bulmaktır.

 

DÖRT ÇUBUK MEKANİZMASI

Dört-çubuk mekanizması için kullanılan yönteme "Raven metodu" da denmektedir. Aşağıda gösterilmiş olan mekanizma için uzuv boyutları (a1, a2, a3, a4) verilmiştir. Tüm uzuvların konumunu her hangi bir 12 değeri için bulmak istiyoruz.

Geometrik yöntemde kullandığımız yönteme benzer bir şekilde ilk olarak A0AB0 üçgenini göz önüne alalım. Bu üçgende iki kenar (a1, a2) ve aralarındaki açı (12) bilinmektedir. Öyle ise üçüncü kenar (AB0 = s) ve ' açısı bu üçgende kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir:

(1)
(2)


s ve ' değerlerini belirlemek için bir başka yöntem ise (ki bu yöntemde invers kosinus fonksiyonu kullanıldığında ortaya çıkacak olan çifte değerlilik olmayacaktır) B0A vektörünü B0A=B0A0+A0B olarak yazdıktan sonra :

scos = a2cos12-a1 (B0A vektörünün yatay bileşeni ) (1')
ssin = a2 sin12 (B0A vektörünün dikey bileşeni) (2')

Her iki denklemin sağ tarafı bir 12 açısı değerine göre B0A vektörünün yatay ve dikey bileşenlerini verecektir. Vektörü kutupsal koordinatlarda gösteren s ve değerlerini bulmak ise dik koordinat sisteminden kutupsal koordinat sistemine dönüşümdür. Hesap makinalarında bu işlem (R-P) ile gösterilen tuş ile (dik koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüşüm) yapılır ise s ve değerleri elde edilir. Eğer Excel paket programı kullanılır ise açısının bulunması için ATAN2(X,Y) fonksiyonu kullanılabilir. (s için her iki terimin karelerinin toplamının kare kökü alınır). Mekanizma için s ve geçerli değeri bulunduktan sonra, ABB0 üçgeninin her üç kenar uzunluğu bilindiğinden (s=AB0 (12 nin fonksiyonu olarak), AB=a3, BB0=a4), kosinus teoremi ile bu üçgenin açı değerleri bulunabilir:

(3)
(4)


ve açıları invers kosinüs fonksiyonu ile elde edildiklerinden 0 ile 180o arasında değer alırlar. Bilinmeyen 13 ve 14 konum parametreleri eğer mekanizma A0ABB0 şeklinde (açık durum) monte edilmiş ise:

14 = - (5)
13 = 14 - (6)

Eğer mekanizma A0AB'B0 şeklinde (çapraz durum) monte edilmiş ise:

14 = + (5')
13 = 14 + (6')

olacaktır. Kol-sarkaç boyutlarında mekanizmalar için her 12 açısına karşı iki değişik 13 ve 14 değeri elde edilecektir. Ancak, eğer denklem 3 ve 4 de 1 den büyük bir değerin invers kosinus fonksiyonunun değeri bulunmak istenir ise, çözüm elde edilemez. Bu, mekanizmanın verilmiş olan 12 açısında kapalı bir devre oluşturamıyacağını gösterir.

Bu şekilde, konum değişkenleri değerlerini hesaplayabileceğimiz bir denklem dizisi elde etmiş bulunuyoruz.

 

KOL-KIZAK MEKANİZMASI

Yukarıda kol-kızak mekanizması gösterilmektedir. Konum analizi için (konum değişkenlerini bulmak için) gereken denklemler:

pcos = a2cos12 -a1 (1)
psin = a2sin 12 (2)

p ve nin çözümü için hesap makinalarında PR tuşu veya Excell paket programında için ATAN2(X,Y) fonksiyonu kullanılır ise her durumda doğru sonuç elde edilebilecektir.

 

(3)

 

(4)

(5)

Bu denklemlerin çıkarılması okuyucuya bırakılmıştır (sıra ile A0AB ve AB0B üçgenlerinin çözümünü düşünmek gerekir).

 

ÇOK UZUVLU MEKANİZMALAR

Genellikle çok uzuvlu mekanizmalar dikkatlice incelenir ise, büyük bir kısmının dört uzuvlu devrelerden oluştuğu görülecektir. Her bir devre yukarıda üç temel mekanizma için vermiş olduğumuz yöntem ile çözülebilir. Bu durumda giriş uzvunu içeren devreden başlayarak devreler sırayla çözülebilecektir.

Yukarıda gösterilmiş olan var-gel mekanizmasını ele alalım. 1,2,3 ve 4 uzuvlarından oluşan A0AB0 devresi önceden gösterilmiş olan kol-kızak mekanizmanın a4=0 durumundan başka bir şey değildir. Bu devrenin çözümünden 14 açısı ve s43 elde edilebilecektir. 1,4,5 ve 6 uzuvlarının oluşturduğu B0BCPB0 devresi ise, bir krank-biyel mekanizmasıdır. Bu devrenin herhangi bir 14 açısına göre çözümü ise s16 ve 15 konum parametrelerini verir. Seçilen referans eksenlerine göre konum parametrelerinin tanımına dikkat edilmesi gerekir.

Öyle ise, bilinen 12 açısına göre diğer konum değişkenleri:

      

denklemleri kullanılarak elde edilebilir.

İlk iki denklem kol kızak mekanizması için A0AB0 üçgeninin çözümünü, son iki denklem ise krank biyel mekanizmasının (B0BC)çözümünü vermektedir. 12 ve 14 açılarının istendiğinde dikey bir doğruya göre ölçülmeyip kolaylıkla yatay bir doğruya göre ölçülebileceği açıktır. Ayrıca 15 değeri belirlenirken invers sinüs kullanıldığından şekil ile uyumlu olabilmesi için 15 açı değeri 900 den küçük olmalıdır.

Bu kısımda açıklanmış olan yöntem pratikte birçok mekanizmanın analizinde kullanılan çok basit bir yöntemdir. Mühim olan mekanizmayı oluşturan basit devreleri belirlemek ve bu basit devrelerin herbirini ayrı ayrı çözebilmektir.

Örnek

Yukarıda gösterilmiş olan garaj kapısının analizi için gerekli olan denklemleri elde edelim (Bu mekanizmanin hareketi, ilk bölümde gösterilmişti)

Yukarıda verilmiş olan şeklin AutoCad kütüğü için -garajkap.dwg-

Dikkat edilir ise, bir teknik resim üzerinde bizim istediğimiz gibi ne uzuvlar numaralıdır ve nede mafsallar işaretlidir. Bunu bizim yapmamız gerekir. Öncelikle de mekanizmanın serbestlik derecesini bulalım. Mekanizma 6 uzuvlu ve 7 döner mafsala sahip olduğuna göre serbestlik derecesi F=3(6-7-1)+7=1 dir ve bağımsız devre sayısı L=7-6+1=2 dir. Bundan sonra uzuvları ve mafsalları işaretleyelim ve devreleri belirleyelim.

Devreleri belirlerken gerekli olan uzuv boyutlarını verilen teknik resimden bulabiliriz.

Bunlar:

A0B0=a1, A0A=a2, A0D=b2, AB=a3, B0B=a4, BC=a5, DC=a6

 

A0ABB0 devresi bir dört-çubuk mekanizmasıdır. Bu devrede 12 kol açısı bağımsız değişken olduğunu kabul eder isek dört çubuk mekanizmasında olduğu gibi şu denklemleri yazabiliriz: (B0A=s)

      scos()= - a2cos(12)

      ssin()= a1- a2sin(12)

Bu iki denklemden s ve çözüldükten sonra kosinüs teoremi kullanılarak:

      

      

      14=-

      13= - + 14

Dört- Çubuk mekanizmasını çözdükten sonra, BCD üçgenini ele alalım. B ve D noktaları koordinatları:

      xB=a2cos(12)+a3cos(13)

      yB=a2sin(12)+a3sin(13)

      xD=b2cos(12)

      xD=b2sin(12)

 

 

      

      

      

      

ve

      15=+

      16=15+

Bu şekilde mekanizmanın tüm uzuvlarının konumları bulunmuş olur.

contents of lecturehome page©es