4.2 Mekanizmalarda Hız ve İvme Analizi -2

Örnek:

Cismin A ve B noktalarının hızları şekilde gösterildiği gibidir. S noktasının hız vektörünü bulun.

V_A ve V_B hız vektörleri o_v başlangıç noktasından çizildiğinde uçları a ve b noktaları olarak işaretlenecektir. Hız poligonunda oluşacak olan abs üçgeni ile cisim üzerinde mevcut ABS üçgenlerinin benzer yapacak şekilde oluşturulması gerekmektedir. Benzer üçgenlerin açıları aynıdır. Bu nedenle b noktasından xb doğrusunu xba =SBA olacak şekilde ve a noktasından ua doğrusunu uab =SAB olacak şekilde çizdiğimizde ua ve x_b doğrularının kesim noktası s dir ve o_v s vektörü S noktasının V_s hız vektörüdür (Şekil b).

Örnek:

Şekilde gösterilen bir dört-çubuk mekanizmasının hız ve ivme analizini yapalım. Devre kapalılık denklemi ve eşleniği:

Devre kapalılık denkleminin birinci türevi alındığında elde edilen hız devre denklemi:

Elde edilecektir. Dikkat edilir ise, hız devre denklemi vektörel olarak:

      V_A + V_B/A = V_B

denklemidir. Kompleks sayılarla yazılmış olan her bir hız teriminin tanımı genellikle kolayca yapılabilir ve mutlaka bağıl hız kavramı ile elde edilecek vektör eşitlik denklemi ile aynı sonuç vermesi gereklidir. Bir başka anlatımla, kompleks sayılar ile yazılan hız devre denklemleri, vektörel hız denklemlerinin farklı bir yazılış şeklidir. Vektörel hız denklemleri analitik veya geometrik yöntemle çözülebilir. Analitik olarak kompleks sayılar ile yazılmış olan hız devre denklemlerinin bilinmeyen hız denklemlerine göre çözümü genellikle daha basit sonuç vermektedir. Denklemler verilen giriş hızı ₁₂ ile bilinmeyen ₁₃ ve ₁₄ açısal hız değişkenlerine göre lineer olup eğer konum analizi önceden yapılmış ve verilen ₁₂ açısına göre ₁₃ ile ₁₄ açılarının o konumda aldığı değerler bulunmuş ise ₁₃ ve ₁₄ hız değişkenlerine Cramer kuralı kullanılarak çözüm yapılabilir:

veya:

benzer bir şekilde:

C noktasının hızı isteniyor ise, C nin konum vektörü:

r_c konum vektörünün zamana göre türevi, C noktasının hız vektörünü tanımlar:

Bu denklem:
      V_C = V_A + V_C/A
Vektörel hız denklemidir. x ve y bileşenleri:

dir. Eğer devre kapalılık denklemi ve hız devre denklemleri önceden çözülmüş ise, yukarıda verilmiş olan denklemlerin sağ tarfında kalan terimlerin tümü bilinmektedir. Hızın x ve y bileşenleri çözüldükten sonra istenildiğinde kutupsal koordinat sistemi kullanılarak hız bir şiddet ve yön açısı ile gösterilebilir.Bu durumda C noktasının hız vektörü kompleks sayı ile:

dır. Bu denklemde
      = hız şiddeti,
      = hız vektörünün pozitif x eksenine göre yaptığı açıdır.

İvme analizi için kompleks sayı ile yazılmış olan hız devre denkleminin türevi alınarak ivme devre denklemi elde edilecektir:

Dikkat edilir ise yazılmış olan hız devre denklemi vektörel olarak:

      a^t_A +aⁿ_A + a^t_B/A + aⁿ_B/A = a^t_B + aⁿ_B

denkleminden farklı değildir. İvme devre denkleminde bilinen terimleri denklemin sağ tarafında kümeler isek:

Denklemi bilinmeyen ivme değişkenleri ₁₃ ve ₁₄ için çözdüğümüzde:

ve

C noktasının ivmesi ise C noktasının hız vektörünün zamana göre türevi alınarak elde edilir.

Dikkat edilir ise, devre kapalılık denklemi, hız ve ivme devre denklemleri çözülmüş ise, sağ tarafta bulunan terimler bilinen değerlerdir. Bu denklem vektörel olarak:

      a_C = aⁿA + a^tA + aⁿ_C/A + a^t_C/A

denklemi ile aynıdır.

Görüldüğü gibi devre kapalılık denklemi ve türevleri olan hız ve ivme denklemleri çözüldükten sonra mekanizmada bulunan her hangi bir uzvun üzerinde bir noktanın konumu, hızı ve ivmesi kolaylıkla belirlenebilir.

Yukarıda ki şekilde dört-çubuk mekanizması için hız ve ivme analizinin grafik çözümü gösterilmiştir.

Hız ve ivme analizini kademe kademe incelemek için aşağıda verilen flash animasyonunu kullanabilirsiniz.

Yukarıda gösterilmiş olan şeklin Autocad kütüğü için -DortCubuk.dwg-

Hız ve ivme devre denklemleri daima hız ve ivme değişkenlerine göre lineerdir. Devre kapalılık denklemleri, konum değişkenlerine göre lineer olmadıklarından dolayı, çözümü lineer denklem çözümüne göre belirli zorluk gösterir (veya deneme-yanılma gerektiren bir çözüm gerekebilir).

Yukarıda gösterilen kol-kızak mekanizmasını ele alalım. Devre kapalılık denklemi:

olacaktır. Zamana göre türevi alındığında hız devre denklemi:

terimler tekrar guruplandırıldığında:

Bu hız devre denklemi hız vektörleri ile yazıldığında:

Hız denkleminde solda görülen birinci terim 2 uzvu üzerinde bulunan A₂ noktasının hızıdır. Bu hızın şiddeti, noktanın merkezden uzaklığı (A₀A=a₂) ile 2 uzvunun açısal hızının (₁₂) çarpımıdır. A₂ ve A₃ noktaları daima çakışan noktalar olduğundan, konumları ve hızları aynı olacaktır. Denklemin sağında bulunan birinci terim ise 4 uzvu üzerinde bulunan A₄ noktasının hızıdır. Bu hızın şiddeti bu noktanın dönme merkezinden uzaklığının (B₀B=a₄), 4 uzvunun açısal hızı ile (₁₄) çarpımıdır. İkinci terim ise A₃ noktasının 4 uzvuna göre yaptığı bağıl hızdır. Bu hızın yönü 3 ve 4 uzuvları arasında bulunan kayar çift eksenine paraleldir.

İvme devre denklemi hız devre denkleminin zamana göre türevi ile elde edilir:

Dikkat edildiğinde bu denklem vektörel olarak:

dır. A₂ ve A₃ noktalarının ivmeleri birbirlerine eşittir. Normal ivme aⁿ_A2 şiddeti iki uzvunun açısal hızının karesi ile noktanın dönme merkezine uzaklığı ile çarpımı, yönü ise o noktadan dönme merkezi yönündedir. Teğetsel ivme a^t_A2 ise noktanın merkeze uzaklığı ile açısal ivmenin çarpımı, yönü ise noktayı merkeze bağlıyan doğruya diktir. Benzer bir şekilde A₄ noktasının normal ve teğetsel ivmeleri sırası ile AB₀ yönünde veya B₀A ya dik yöndedir. Üçüncü terim ise bağıl teğetsel ivme olup 3 ve 4 uzuvları arsındaki kayar çift eksenine paralel yöndedir. Şiddeti ise ₄₃ dür. Son terim ise Coriolis ivmesi olup şiddeti bağıl hız ile 4 uzvunun açısal hızının çarpımının iki katı olup (2_{43 14}) yönü kayar mafsal eksenine diktir.

Aşağıda verilmiş olan şeklin AutoCad kütüğü için -KolKızak.dwg-

Yukarıda gösterilen şekilde grafik olarak hız ve ivme poligonları görülmektedir. Dikkat edilir ise çizilen hız poligonu:

      V_A4 = V_A3 + V_A4/A3

denklemi ile uyumludur (denklemin her bir tarafında bir bilinmeyen kalması için).

V_A3 = V_A2 dir ve bu vektörün şiddeti ₁₂|AA₀| dır. ₁₂ bilinen açısal hız ise, vektörün şiddeti ve yönü (A₀A ya dik ₁₂ yönünde) bilinmektedir. V_A4 hızı, AB₀ 'a diktir. V_A4/A3 bağıl hız vektörü ise kayar mafsal eksenine paralel olacaktır. İlk olarak V_A3 belirli bir ölçek ile çizilir. Daha sonra bu vektörün uç noktasından kayar mafsal eksenine paralel V_A4/A3 yönünde bir doğru, başlangıç noktasından ise AB₀ a dik V_A4 yönünde doğru çizilir. Bu doğruların kesiştiği nokta bu iki vektörün uç noktasıdır, V_A4 ve V_A4/A3 hız vektörlerinin şiddeti, bulunan uzuklukların V_A2 hız vektörünü çizerken kullanılan ölçek ile bölünmesi ile bulunur. V_A4 hız vektörünün bulunması ile şiddetinin AB₀ a bölünmesi ile ₁₃ =₁₄ açısal hızıda bulunabilir (3 ve 4 uzuvları arasında kayar mafsal olduğundan bu iki uzuv aynı miktadrda açısal dönme yapabilirler ve açısal hız ve ivmeleri aynı olmalıdır). V_A4 hız vektörünün yönüne göre, ₁₄ hız vektörü saat yelkovanı yönünde olmalıdır.

İvme analizi için ivme devre denklemi :

       a^t_A4 + aⁿ_A4 = a^t_A3 + aⁿ_A3 + a^C_A4/A3 + a^t_A4/A3

olarak yazılabilir. Bu değişik yazımın tek nedeni denklemin her iki tarafında bir bilinmeyen bırakmak içindir. Grafik ivme analizine bilinen ivme vektörlerinin belirli bir ölçek ile çizilmesi ile başlanılır. Örneğin a^t_A3 = a^t_A2 nin şiddeti ₁₂|AA₀| ve yönü AA₀ ya dik olacaktır ve aⁿ_A3 = aⁿ_A2 nin şiddeti ²₁₂|AA₀| olup, yönü AA₀ yönünde A₀ a doğru olacaktır. Her iki ivme vektörü istenilen sırada uc uca çizilir. İki ivme vektörünün toplamı A₂ veya A₃ noktasının toplam ivmesidir (a_A3 = a_A2). Bundan sonra Coriolis ivme bileşkesinin şiddeti 2₁₃V_A4/A3 olarak bulunur. Bu terimde bulunan bağıl hız ve açısal hız değerleri hız analizi yapıldı ise bilinmektedir. Coriolis ivmesinin yönünü belirlemek için bağıl hız vektörü göz önüne alınır ve bu vektörün 90⁰ açısal hız yönünde döndürülmesi bize Coriolis ivmesinin yönünü gösterir. Yönü ve şiddeti bulunan coriolis ivmesi a^C_A4/A3, a_A2 ivme vektörünün uç noktasından, kullanılan aynı ölçek ile çizilir. Bu yönde son olarak şiddeti bilinmeyen ancak yönü kayar mafsal eksenine paralel olması gereken a^t_A4/A3 ivme vektörünün yönünü belirleyen kayar çift eksenine paralel doğru, coriolis ivme vektörünün ucundan çizilir. Denklemin sağ tara-fında bulunan terimleri ele aldığımızda A₄ noktasının normal ivmesi aⁿ_A4 ün şiddeti ²₁₃|AB₀| olduğu ve yönünün ise AB₀ yönünde ve dönme merkezi B₀ a doğru olduğu görülür. Dikkat edilir ise ivme denkleminde bulunan tüm normal ivme ve Corriolis ivme terimleri hız analizine bağlıdır ve hız analizi yapıldı ise gerek şiddetleri ve gerek yönleri bilinmektedir. a_A2 ivme vektörünün başlangıç noktasından ilk olarak diğer vektörler için kullanılmış olan ölçek kullanılarak aⁿ_A4 ivmesi çizilir. A₄ noktasının teğetsel ivmesi, a^t_A4 vektörünün şiddeti bilinmemetedir ancak yönü, 4 uzvu dönme yaptığından AB₀ doğrusuna dik olmalıdır. Öyle ise normal ivmenin uç noktasından AB₀ a dik doğru çizilir. Bu doğru ile bağıl teğetsel ivme yönü için çizmiş olduğumuz kayar mafsal eksenine paralel doğrunun kesim noktası ivme poligonunun çözümüdür.

Hız ve ivme analizini kademe kademe incelemek için aşağıda verilen flash animasyonunu kullanabilirsiniz.

Verilmiş olan AutoCad Çizim kütüğünü kullanarak:

Bundan sonraki iki bölümde verilmiş olan örneklerde bazi düzlemsel mekanizmaların konum hız ve ivme analizleri grafik veya analitik olarak yapılmıştır.

©es