8.3 Hareket Eğrileri

Uygulamada çok sayıda farklı hareket eğrileri kullanılmaktadır. Burada genel özellikleri açıklayan temel hareket eğrileri ele alınacaktır.

      s= C t

Kam için sabit açısal hız () kabul edilir ise:

      s= C/ dır.

H= Strok boyu

= kamın tüm hareket sırasında döndüğü açı ise:

s=0 iken = 0 ve s = H iken = sınır şartları kullanılarak:

ve

      a=0, ancak başlangıç ve bitiş noktalarında a= olacaktır

Şekilde Hareket, hız ve ivme eğrileri gösterilmiştir. Uç noktalarda ivmenin sonsuz olması bu tip bir eğrinin düşük hızlarda bile kullanılmasına müsaade etmemek-tedir. Ayrıca bu eğri kam eğrisi olarak çizildiğinde, süreksizlik hareket diyagramında görüldüğü gibi kam profilinde de olacaktır.

Tasarımı kolay ve sürekli bir hareket olmasından dolayı basit harmonik hareket bilhassa düşük veya orta hızlı kamlarda çok sıkca kullanılan bir harekettir. Geometrik olarak basit harmonik hareket Şekilde gösterildiği gibi, bir daire üzerinde bulunan noktaların s öteleme eksenine projeksiyonu ile elde edilir. Çapı toplam öteleme strokuna eşit yarım daire kam yükselme açısı bölümü kadar bölümlere ayrılır ve daire üzerinde alınan her noktanın dikey eksene projeksiyonu sırasında kamın belirlenen aralık kadar döndüğü öngörülür. Şekilden anlaşılacağı gibi, hareket başlangıç ve bitişte daha yavaş, orta noktalarda daha hızlı olacaktır. Bu tüm bekleme-hareket-bekleme için kullanılan eğrilerde aranılan özelliktir. Basit harmonik hareketin denklemi:

dir.

Hız ve ivme diyagramları Şekilde görülmektedir ve maksimum hız ve ivme değerleri:

dir.

Parabolik harekette hareketin ilk yarısında izleyici sabit bir ivme ile hızlandırılırken ikinci yarısında sabit bir eksi ivme ile yavaşlatılır. Bu hareket eğrisini grafik olarak çizmek için izleyici yükselişi ile kamın dönme açılarını eşit sayılara bölmemiz gerekir. Yükseliş bölümlerini orta noktada bir dikey doğru üzerinde gösterelim. O başlangıç noktasından dikey doğru üzerinde bulunan 1,2,3 ve 4 noktalarına çizilen doğrular ile kam dönme açısı bölümlerinden çizilen dikey doğruların kesiştiği noktalar bu parabol üzeride bulunan noktalardır. Hareketin ikinci yarısı için O yerine O' noktası kullanılarak aynı işlem tekrarlanır.

İzleyicinin hareketi, hızı ve ivmesi kam dönme açısına göre:

İvme her konumda belirli bir değer alırsa da, ivme değişimi (sadme) sonsuz olacaktır. Hareket, hız ve ivme diyagramları Şekilde gösterilmektedir.

Eğer bir daire bir doğru üzerinde yuvarlanır ise, daire çemberi üzerinde bir nokta sikloid eğrisini çizer. İzleyicide sikloid hareketi elde etmek için çevresi H veya çapı H/ olan, merkezi ise OO' doğrusu üzerinde bulunan daire çizilir. Daire çemberi ve kam yükseliş açısı aynı sayıda eşit aralıklara bölünür. Bu daire üzerinde bulunan bir noktadan (örneğin 1 noktası) çizilen yatay doğrunun dikey ekseni kestiği noktadan OO' ye paralel çizilen doğru ile aynı noktaya karşı gelen yatay eksen üzerindeki noktadan (1 noktası) çizilen dikey doğrunun kesiştiği nokta yükselme eğrisi üzerinde bir noktayı belirler. Analitik olarak hareket, hız ve ivme eğrileri :

Hareket, hız ve ivme diyagramları

Şu ana kadar açıklanmış olan eğriler arasında sikloid hareket eğrisi en iyi dinamik özellikere sahip kam sistemini verebilecektir. İvme her noktada sınırlı olup başlangıç ivmeside sıfırdır. Bu en az titreşim, gürültü oluşturan bir kam sistemini vereceğinden genellikle tavsiye edilir. Ancak bu özelliklere erişilebilmesi için kamın çok hassas imal edilmesi şarttır.

Doğrusal hareket eğrisinde, başlangıç ve bitiş noktaları sonsuz ivme olduğundan dolayı uygulamada sorun yaratacaktır. Başlangıç ve bitiş noktalarında sonsuz ivmeyi önlemek için başlangıç ve bitiş bir daire yayı, arada ise bu iki daire yayına teğet bir doğru çizilerek elde edilen yükseliş eğrisinde hareket ve hareketin birinci türevi sürekli olacak, ivme ise her noktada sonlu bir değer alacaktır. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, genel olarak daire yayı yarı çapı yükselme mesafesine (H) eşit alınır ise de, farklı bir çapta kullanılabilir.

Kalkış sırasında belirli bir aralıkda sabit bir hız elde edilebilmesi için doğrusal hareket eğrileri bir çok uygulama için gereklidir. Hareketin sürekliliğini sağlamak için ise, başlangıç ve bitiş noktalarında daire yayı kullanılabileceği gibi, harmonik haraketin, parabolik hareketin veya sikloid hareketin yarısı bu doğruyu başlangıç ve bitiş noktalarına sıfır eğim ile bağlayabilir.

Örnek 1 :

50 devir/dakika açısal hız ile dönen bir kam mekanizmasında, izleyicinin ilk olarak sabit ivme ile 200 mm/s hıza çıkmasını, 60⁰ bu sabit hız ile hareket etmesini ve sonra sabit ivme ile toplam 60 mm yükseliş yaptıktan sonra beklemeye girmesi istenmektedir.

Bu yükseliş eğrisini, hızını ve ivmesini belirleyelim.

Şekilde görüldüğü gibi, yükseliş eğrisi üç kısımdan oluşacaktır. 0<<₁ aralığında sabit ivme, ₁<<₂ aralığında sabit hız ve ₂<< aralığında ise yine sabit ivme ile durmadır. Kamın açısal hızı =50*/30= 5.238 radyan/s olduğuna göre /3 aralığı, t=0.2 saniyede alınacak 200 mm/s hızla yükseliş H'=200*0.2= 40 mm olacaktır. Diğer iki aralıkta toplam yükselme 20 mm dir. Başlangıç ve bitiş ivmelenmeleri sırasında aynı yükseliş olduğu kabul edilir ise, her iki kısımda 10'ar mm yükseliş alınabilir. Dikkat edilir ise sabit ivme sırasında kamın dönme açısı belirli değildir (mümkün olduğunca artırılması amaçlanmalıdır).

0<<₁ aralığı sırasında sabit ivme için parabolik hareket olacaktır. İkinci dereceden hareket eğrisi:

      s=c₀+c₁+c₂²

şeklinde yazılabilir. Sınır şartlar olarak =0 iken s=0 ve =₁ iken ise, s=10 mm ve olmalıdır. =0 şartları kullanıldığında c₀=c₁=0 elde edilir. =₁ de konum ve hız şartlarından ise:

      c₂₁² = H₁ = 10mm

      2c₂₁ = 200mm/s

dir. bu denklemlerden ₁ = /6 (30⁰) ve c₂=360/² olarak elde edilir.

₂<< aralığında yine sabit ivme olacağından aynı ikinci derece eğri kullanılacak ve sınır şartlar = ₂= /2 için s=50 mm, = için ise s=H=60 mm ve olacaktır. Bu şartlar kullanıldığında =-₂ = /6, olarak bulunur. Bu durumda yükseliş eğrisi denklemleri:

0<</6 için

/6<</2 için

/2<<2/3 için

Hareket, hız ve ivme eğrileri

Açıklanmış olan parabolik veya sabit ivmeli harekette başlangıç ve bitiş noktalarında ivmenin bir basamak şeklinde değişmesi yerine, ivmenin zamana göre türevinin sonsuz olmasını önlemek için diktörtgen şeklinde olan ivme eğrisinin dikey kenarlarını meyillendirerek trapez şeklinde bir ivme diyagramı elde edilebilir (Şekil ). Genellikle ivmenin düzgün değiştiği bu kısım yükselme açısının 1/8 i kadar alınır. Kalan aralıkda sabit ivmeli hareket vardır. Trapezoid ivme eğrisi:

Bu nedenlerden dolayı trapezoid ivme eğrisi (veya bu eğrinin daha iyileştirilmiş şekilleri) bilhassa otomotiv sanayiinde en fazla kullanılan eğridir (İleri tasarım şartlarında bu trapez ivme diyagramında köşelerinde sürekliliğin sağlanması düşünülmelidir).

İvmenin sabit olmayıp düzgün olarak değişmesi istenilir ise hareket üçüncü dereceden olacaktır. Birinci tip (#1) üçüncü derece hareket eğrisinde ivmenin zamana göre değişimi pozitifdir. Bu nedenle eğri iki üçüncü derece eğrinin birleşiminden elde edilir. Hareketin başlangıç ve bitişinde ivmenin sıfır olması avantajlı isede, orta noktada ivmenin sürekli olmayışı uygulamada sorunlar yaratır (sadme sonsuz olacaktır). Bu nedenle tavsiye edilmemektedir. Analitik olarak hareket, hız ve ivme denklemleri:

İkinci tip üçüncü derece hareket eğrisi ise tek bir eğriden oluşmuştur ve süreklidir. Bu eğriye aynı zamanda 2-3 polinomu da denmektedir. Hareket, hız ve ivme eğrileri Şekilde verilmiştir. Analitik olarak denklemler:

Bu eğri iki harmonik hareketin farkından oluşmaktadır. Şu ana kadar elde edilmiş eğriler simetrik iken, bu eğri simetrik değildir (Şekil). Bu nedenle Bekleme-Hareket veya Bekleme-Hareket-Doğrusal Hareket gibi durumlarda kullanımı daha uygundur. Hareket, hız ve ivme denklemleri:

Pratikte kullanılan temel hareket eğrileri genel olarak yukarıda açıklanmış olan hareket eğrileridir. Ancak yüksek hızlarda ve özel uygulamalarda değişik hareket eğrileri kullanılabilir. Bu eğrilerde dördüncü türeve kadar süreklilik aranmaktadır. Çok sayıda harmoniklerden oluşan hareket eğrilerinin titreşim açısından uygun olmadığı görülmüştür. Çeşitli çalışmalarda sabit ivme - parabolik hareket eğrisini trapezoid iv-mede olduğu gibi, düzeltme yolları araştırılmıştır (örneğin ilk 1/8 de doğrusal ivme yerine harmonik ivme gibi). Bir başka yaklaşım ise çeşitli derecede bir polinomların hareket eğrisi olarak kullanılmasıdır.

Bir polinomun genel denklemi:

      s=c₀+c₁+c₂²+...+c_nⁿ

dir. Burada:

      s= izleyici hareketi

      = kam dönme açısı

      c_i = sabit değerler (i= 0,,,n)

      n= polinom derecesi

Bu polinomun kam açısı kadar döndüğünde izleyiciyi H kadar yer değiştirmesi istendiği gibi başlangıç ve bitişte bekleme olduğundan bu konumlarda izleyicinin hızı, ivmesi sıfır olması gerekir (bu şekilde, bekleme ile başlayıp biten harekette süreklilik sağlanabilir):

   =0 iken             = iken

      s=0                         s=H

      =0                       =0

       =0                        =0

olması gerekir. Bu altı sınır şartın sağlanabilmesi için polinomda altı sabit bulunmalı, yani polinom beşinci dereceden olmalıdır. Bu polinom ve türevleri:

      s=c₀+c₁+c₂²+c₃³+c₄⁴+c₅⁵

      /=c₁ +2 c₂ + 3c₃² +4c₄³ +5c₅⁴

       /=2 c₂ + 6c₃ +12c₄² +20c₅³

olacaktır. Yukarıda verilmiş olan sınır şartlar kullanıldığında:

      0 = c₀

      H = c₀ + c₁ + c₂₂ + c₃₃ +c₄₄ +c₅₅

      0= c₁

      0= c₁ + 2c₂ + 3c₃₂ +4c₄₃ +5c₅₄

      0=2c₂

      0=2 c₂ + 6c₃ +12c₄₂ +20c₅₃

c₀=c₁=c₂=0 değerleri diğer denklemlerde kullanılır ise, diğer üç denklem bilinmeyen diğer üç kat sayı için çözüldüğünde:

Bu polinom literatürde 3-4-5 polinomu olarak bilinmektedir. Yüksek dereceli polinomların hareket eğrilerinde başlangıç ve bitiş noktalarında gittikçe daha az izleyici hareketi olacaktır. Bu tür eğrilerin kamda gerçekleştirilebilmesi için çok hassas imalat gereklidir. Örneğin başlangıç ve bitiş noktalarında üçüncü türevinde sıfır olması şartı getirilir ise (=0), sınır şartı sekize çıkacak ve yedinci derece bir polinom ile sınır şartlar sağlanacaktır. Ancak iki uç noktada hareketin az olması, ara konumlarda hızın ve ivmenin daha yüksek olmasını gerektirecektir. Bu nedenlerden dolayı, kullanılacak eğriye hem imalat ve hemde uygulamanın gerektirdiği şartlar birlikte göz önüne alınarak karar verilmelidir.

Hareket eğrilerinin özelliklerini birbiri ile karşılaştırabilmek için tüm eğrilerin aynı krank dönme açısına karşı aynı yükseliş hareketini verecek şekle getirmemiz gerekir. Buna Hareket eğrilerinin "Normalizasyonu"denmektedir. Bu konu için burayı tıklayın.

Örnek 2 :

Aşağıda verilmiş olan hareketi sağlayan kamın 360⁰si için hareket diyagramını verecek denklemleri bulun, hareket eğrisini çizin.

      Sikloidal Hareket ile 120⁰ de 40 mm yükseliş

      30⁰ kam dönüşü sırasında bekleme

      90⁰ kam dönmesi ile 20 mm geri dönüş (basit harmonik hareket)

      30⁰ kam dönüşü sırasında bekleme

      60⁰ kam dönmesi ile 20 mm geri dönüş (parabolik hareket).

(Genel olarak bir kamda tüm hareketler için uygulama ve imalat şekline bağlı olarak tek hareket tipi seçilir. Burada değişik kam eğrisi örneklerini göstermek için üç değişik hareket eğrisi seçilmiştir)

İstenilen hareket eğrileri, verilen yükseliş ve krank dönme açılarına göre (hepsi yükseliş eğrisi olarak ve hepsi =0⁰ de yükselişe başlayacak şekilde):

Sikloid hareket (H=40 mm, =2/3)                  s=(20/)(3-sin3)

Basit harmonik hareket (H=20 mm, =/2)      s=10(1-cos2)

Parabolik hareket (H=20 mm, =/3)

Bu denklemleri uygun bölgeye taşır, geri dönüş eğrileri haline getirirsek kamın 360⁰ dönmesi sırasında izleyici hareket eğrisini elde edebiliriz:

Hareket eğrisi kamın tam bir devri için hareket eğrisi Excel programı kullanılarak hesap edilmiş ve çizilmiştir. Şekilde Excel tablosunun belirli satırlarında yazılmış olan formüller gösterilmektedir. A kolonunda hücrelere 3 den 363 e kadar bir derece aralıklarla kam açısı, B kolonunda aynı satırlarda bulunan hücrelerde ise bu açının radyan olarak değeri bulunmaktadır. C kolonunda ise örneğin 3 ile 123 satırları arasında hücrelere sikloid eğri formülü yazılmıştır (formül C3 hücresine yazıldıktan sonra C4-C123 arasındaki hücrelere kopyalanır. Burada ara satırlar gösterilmemiştir). 124 ile 152 satırları arasında beklemeden dolayı C sütünunda hücrelere sadece 40 değeri girilmiştir. Benzer işlem geri dönüş eğrileri içinde tekrarlanmıştır. Sonuçta elde edilen değerler Şekilde Excel grafik komutu ile elde edilen hareket diyagramıdır (aralık istenir ise 0.1⁰ olarakda alınabilir).

Excel kütüğü için tıklayın.

Elde edilmiş olan bu hareket eğrisi denklemi ile istenilen sıklıkta ve istenilen hassasiyette hareket eğrisi değerleri elde edilebilecektir. İleride kam profili elde edilmesi sırasında bunun önemi anlaşılacaktır.

©es