7.2 Krank-Biyel Mekanizması

Makina tasarımında yoğun bir şekilde kullanılan bir başka mekanizmada krank-biyel mekanizmasıdır. Genel olarak bir dönme hareketini bir öteleme hareketine çevirmek için kullanıldığı gibi bir öteleme hareketini dönme hareketine çevirmek içinde kullanılabilir. Şekilde krank-biyel mekanizması, değişken açıları ve boyutları tanımlayan sabit parametreleri görülmektedir. Dört-çubuk mekanizmasında olduğu gibi, ölü konumlar krank ile biyelin aynı doğru üzerinde olduğu konumlardır. Krankın tam bir dönmesi için c eksantrikliğinin biyel ile krank uzunluklarının farkından az ve krankın en kısa uzuv boyutu olması gerekir. (yani c < a₃ − a₂ ve a₃ > a₂ olmalıdır).

Krank biyel mekanizmasında strok (s) pistonun ölü konumlar arasında yaptığı öteleme mesafesi olup:

$\displaystyle \text{s}={{\text{a}}_{3}}\sqrt{{{{{\left( {1+\text{λ}} \right)}}^{2}}-{{\text{ε}}^{2}}}}-{{\text{a}}_{3}}\sqrt{{{{{\left( {1-\text{λ}} \right)}}^{2}}-{{\text{ε}}^{2}}}}$

dur. Burada s = s_e − s_f (strok), λ = a₂/a₃ ve ε = c/a₃ tür.

Eksantriklik sıfır ise( c = 0), krank biyel mekanizması santriktir ve bu durumda strok iki krank boyu olur (s = 2a₂).

Bağlama açısı, μ, dört çubuk mekanizmasında verilmiş olan tanım ile aynı olup şekilde görüldüğü gibidir. Bağlama açısının dik açıdan sapması krank-biyel mekanizmalarında daha önemli olup sürtünmeden dolayı kilitlenme (veya kasılma) ihtimali daha fazladır. Ayrıca bağlama açısının dik açıdan sapması kayar mafsala etki eden normal kuvveti artıracağından sürtünme kuvveti artacağından, önemli enerji kaybına neden olur. Herhangi bir krank açısına göre bağlama açısı:

a₃cosμ = a₂sinθ₁₂ − c

(1)

Bağlama açısının dik açıdan maksimum sapmasını belirlemek için μ nün krank açısı θ₁₂ ye göre türevi alınır sıfıra eşitlenir. Denklem (1) den:

\displaystyle \frac{{\text{dμ}}}{{\text{d}{{\text{θ}}_{{12}}}}}=\frac{{-\cos {{θ}_{{12}}}}}{{\sin \text{μ}}}=0

(2)

Bağlama açısının maksimum veya minimum değeri θ₁₂ = 90° veya θ₁₂ = 270° olduğu konumlardır ve bu konumlarda bağlama açısının maksimum veya minimum değeri:

\displaystyle \cos {{\text{μ}}_{\begin{smallmatrix} \text{max} \\ \text{min} \end{smallmatrix}}}=\frac{{-\text{c}\pm {{\text{a}}_{2}}}}{{{{\text{a}}_{3}}}}

(3)

dir. Eğer c Şekilde görüldüğü gibi, pozitif ise bağlama açısı θ₁₂ = 270° iken dik açıdan maksimum sapar. c negatif ise, en kritik bağlama açısı θ₁₂ = 90° konumundadır.

Eksantriklik sıfır ise (c = 0), maksimum ve minimum bağlama açısı değerlerinin dik açıdan sapması eşit olur:

\displaystyle \cos {{\text{μ}}_{\begin{smallmatrix} \text{max} \\ \text{min} \end{smallmatrix}}}=\pm \frac{{{\text{a}}_{2}}}{{{\text{a}}_{3}}}

(4)

Bir örnek olması açısından, pistonlu pompalarda, krank-biyel oranının genellikle ¼ den az bir oran olması istenilir. Bu ise bağlama açısının dik açıdan sapmasını 14.48⁰ den az bir değerde tutacaktır. Santrik bir krank biyelde krank boyu istenilen stroka bağlı olduğundan (a₂ = s/2), bu oranın elde edilmesi için biyel boyunun büyütülmesi, dolayısı ile mekanizmanın daha fazla hacim kapsamasını gerektirir.

Dört çubuk mekanizması için açıklanmış olan bağlama açısı problemi gibi, krank-biyel mekanizmaları içinde benzer bir problem ortaya konabilir:

Verilen bir strok, s, ve buna karşı gelen krank dönme açısını (ϕ) sağlayan ve ayrıca bağlama açısı dik açıdan en az sapma gösteren krank biyel mekanizmasını bulun.

Problemin yine iki kısmı bulunmaktadır. Birinci kısım, verilen strok (s) ve karşı gelen kol dönme açısını (ϕ) sağlayan krank biyel mekanizmalarının bulunması ikinci kısım ise bu kinematik özellikleri sağlayan krank-biyel mekanizmaları arasından bağlama açısı dik açıdan en az sapma gösteren mekanizmanın bulunmasıdır.

Problemin birinci kısmı için strokun uzuv boyutları oranına bağlı olduğuna dikkat etmemiz gerekmektedir. Örneğin uzuv boyutlarını iki misli büyütür isek strok iki misli artacaktır. Bu dört çubuk mekanizmalarında kol dönme açıları için olmayan bir durumdur. Bu nedenle strok bir birim (s = 1) olarak ele alınacak, sonuçta elde edilen krank ve biyel boyutları istenilen strok değeri ile çarpılarak gerçek olması gerekli boyutlar bulunacaktır.

Şekilde gösterilmiş olan ölü konumlar için vektör devre denklemi:

A₀B_e + B_eA_e + A_eA₀ = 0	(5)
A₀B_f + B_fA_f + A_fA₀ = 0	(6)

veya karmaşık sayılar kullanılarak

ic + s_e + (a₃ + a₂)e^iϕ₁ = 0	(7)
ic + s_e + (a₃ − a₂)e^{i(ϕ₁+ϕ−π)} = 0	(8)

dır. Denklem (8) i denklem (7) den çıkarıp s_e − s_f = s = 1 olarak alır isek:

1 + (a₃ + a₂)e^iϕ₁ + (a₃ − a₂)e^i(ϕ₁+ϕ) = 0

(9)

olacaktır. λ = a₃/a₂ ve Z = a₃e^iϕ₁ olarak tanımlar isek, denklem (9)

(1 + λ)Z + (1 − λ)e^iϕZ + 1= 0

(10)

olarak yazılabilir. Krankın tam bir dönme yapabilmesi için gerek şart (yeter şart değil) |λ|< 1 dir. Denklem (10) Z için çözüldüğünde:

Z =

\displaystyle \frac{{-1}}{{1+{{\text{e}}^{{\text{iϕ}}}}+\text{λ}\left( {1-{{\text{e}}^{{\text{iϕ}}}}} \right)}}

(10)

elde edilir. Eğer λ bağımsız parametre olarak kabul edilir ise, λ nın değişik değerleri ile Z vektörünün uç noktası bir daire çizecektir (k_a dairesi). Bu, mekanizmanın ölü konumunda A_e noktasının B_e noktasına göre geometrik yeridir. Sabit döner mafsal ekseni ise (1 + λ)Z vektörü ile tanımlanan farklı bir daire (k_o dairesi) olacaktır. Her iki vektörde merkezi B_e den geçen ve reel ekseni piston öteleme ekseni ile çakışan sabit koordinat eksenine göre çizilebilir. Şekilde bu daireler ϕ = 160⁰ durumu için çizilmiştir. B_e den çizilen herhangi bir doğru bu daireleri A_e ve A_o noktalarında kesecektir.

c eksantriklik değeri ise:

B_eA₀ = B_eA_e + A_eA₀

vektörünün sanal bileşeni olarak elde edilecektir. Bir kompleks sayıdan kompleks eşleniği çıkarılır ise, sanal kısmın iki katı olacağından bu vektör denkleminden:

2ic = (a₃ + a₂)e^iϕ₁ − (a₃ + a₂)e^−iϕ₁ = 0

(12)

elde edilir. Bu denklemde önceden tanımlanmış olan Z ve λ parametreleri kullanıldığında:

2ic = Z(1 + λ) −

\displaystyle {{\bar{\text{Z}}}}

(1 + λ)

(13)

olacaktır. Denklem (11) den elde edilen Z değeri kullanıldığında:

$\displaystyle \text{c}=\frac{1}{2}\frac{{\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\sin \text{ϕ}}}{{1+{{\text{λ}}^{2}}+\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\cos \text{ϕ}}}$	(14)
$\displaystyle {{\text{a}}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{1}{{1+{{\text{λ}}^{2}}+\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\cos \text{ϕ}}}=\frac{1}{4}\frac{1}{{{{{\cos }}^{2}}\left( {\text{ϕ}/2} \right)+{{\text{λ}}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\left( {\text{ϕ}/2} \right)}}$	(15)
$\displaystyle {{\text{a}}_{2}}^{2}={{\text{λ}}^{2}}{{\text{a}}_{3}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{{{{\text{λ}}^{2}}}}{{1+{{\text{λ}}^{2}}+\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\cos \text{ϕ}}}=\frac{1}{4}\frac{{{{\text{λ}}^{2}}}}{{{{{\cos }}^{2}}\left( {\text{ϕ}/2} \right)+{{\text{λ}}^{2}}{{{\sin }}^{2}}\left( {\text{ϕ}/2} \right)}}$	(16)

olacaktır. (14-16) denklemleri kullanılarak verilen krank dönme açısı ve stroku bir birim olan krank biyel mekanızmaları λ bağımsız parametresine göre elde edilmiştir ve sonsuz sayıda çözüm vardır. İstenildiğinde λ parametresi yerine eksantriklik, krank veya biyel boyu bağımsız parametre olarak kullanılabilir.

Problemin geometrik olarak çözümü için:

Örnek:

Örnekde strok ve krank dönme açısı olan ancak krank uzunluğunun biyel uzunluğuna göre oranı tanımlanmıyarak, eksantrikliği c = 20 mm olması istenilen krank biyel mekanizması boyutlarını bulalım.

Birim stok için c = 20/120 = 0.16667 dir. Denklem (10) u λ için çözdüğümüzde:

\displaystyle {{\text{λ}}^{2}}=\frac{{1-2\text{c}\cot \left( {\text{ϕ}/2} \right)}}{{1+2\text{c}\tan \left( {\text{ϕ}/2} \right)}}

(17)

olacaktır. c = 0.16667 ve ϕ =160⁰ için λ² = 0.325635 (λ = 0.5706) bulunur. (11) ve (12) numaralı denklemler kullanılarak a₂ = 0.48508 ve a₃ = 0.85006 bulunur. s = 120 mm için c = 20mm , a₂ = 58.21 mm ve a₃ = 102.01 mm olacaktır. Bu krank biyel mekanizması için minimum bağlama açısı değeri: μ_min = 39.94⁰. dikkat edilir ise, biyel uzunluğu veya krank uzunluğu önceden verilir ise, benzer bir yöntem kullanılabilir.

θ = π/2 iken pozitif c değerleri için minimum bağlama açısı olacaktır ve değeri:

μ_min = cos^-1

\displaystyle \left( {\frac{{\text{c}+\text{a}}}{\text{b}}} \right)

(18)

dir. Ayrıca, krankın tam dönme yapabilmesi için c + a < b veya c < b − a olmalıdır. Sınır şart olarak (c = b − a) alındığında μ_min = 0 olur. Denklem (10), (11) ve (12) kullanılarak bu şartlar ölü konumlar rasında krank dönme açısı ϕ için sınırlar getirecektir:

π/2 ≤ ϕ ≤ tan^-1(−1/c)

(19)

ve cot²(ϕ/2) < λ < 1 olur. Denklem (18) i λ ve ϕ parametreleri ile yazdığımızda

\displaystyle \cos {{\text{μ}}_{{\text{min}}}}=\text{λ}+\frac{1}{2}\frac{{\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\sin \text{ϕ}}}{{\sqrt{{1+{{\text{λ}}^{2}}+\left( {1-{{\text{λ}}^{2}}} \right)\cos \text{ϕ}}}}}

(20)

olacaktır. λ bağımsız parametre olduğundan, en küçük bağlama açısı değerinin maksimum olması için gerekli şart dμ_min/dλ = 0 dır. Bu türevi sıfır yapan λ değerine λ_opt dersek, (20) denkleminin türevini alıp dμ_min/dλ = 0 olur ise

t²Q³ + (1 − t²)Q² − (1 + t² + t⁴)Q + 1 + t² = 0

(21)

Bu denklemde Q = λ_opt²t² ve t = tan(ϕ/2) dir. Denklem (21) in üç kökü:

\displaystyle {{\text{Q}}_{1}}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{{5+4{{\text{t}}^{2}}}}

;

\displaystyle {{\text{Q}}_{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{{5+4{{\text{t}}^{2}}}}

;

\displaystyle {{\text{Q}}_{3}}=-\frac{1}{{{{\text{t}}^{2}}}}

(22)

Q pozitif olması gerektiğinden (λ_opt²t² daima pozitiftir), Q₂ çözüm değildir. Q₃, değerinden λ = 1/t² elde edilir. Bu değere göre elde edilen mekanizmada bağlama açısının dik açıdan sapması maksimumdur (cosμ_min = 1) ve bu değer de optimum çözüm değildir. Q₁ kökünden elde edilen λ_opt değeri (1/t², 1) aralığındadır ve bağlama açısının dik açıdan sapmasını en aza indirir. Bu değer:

\displaystyle {{\text{λ}}_{{\text{opt}}}}^{2}=\frac{{\sqrt{{5+4{{\text{t}}^{2}}}}-1}}{{2{{\text{t}}^{2}}}}

(21)

dir ve aranılan çözüm tektir.

Örnek:

Stroku s = 120 mm ve krank dönme açısı ϕ = 160⁰ istenilmektedir. Bu kinematik özellikleri sağlayan ve en iyi bağlama açısı özelliklerine sahip krank biyel mekanizmasını bulun.

Denklem (23) den, λ_opt = 0.405185. (14), (15) ve (16) numaralı denklemler kullanılarak birim strok için uzuv boyutları: a₂ = 0.465542, a₃ = 1.14896, c = 0.377378 dir. s = 120 mm strok olduğunda ise

a₂ = 55.87 mm, a₃ = 137.88 mm, c = 42.81 mm

Sonuç mekanizma şekilde görülmektedir. Mekanizmanın minimum bağlama açısı μ_min = 42.8° dir.

Elde edilen sonuç ölü konumlar arası kol dönme açısına göre bulunabilir. Bu sonuçlar kitapta Abak 2 de görülmektedir. Krank biyel mekanizması uzuv boyutları (a₂, a₃, c) ve λ_opt değeri ile birlikte en küçük bağlama açısı değeri mmin krankın ölü konumlar arasında dönme açısına (ϕ) göre verilmiştir. Abak 3 te ise tüm sonuçlar eksantrikliğin stroka oranı (c/s) ve ölü konumlar artasında kalan krank dönme açısına göre (ϕ) verilmektedir (yatay eksen c/s olup lineer bir ölçekte değildir).