4.2 Mekanizmalarda Hız ve İvme Analizi -4

Örnek:

Şekilde gösterilmiş olan mekanizma saman balyalama makinasında kullanılmıştır. 6 uzvu üzerinde bulunan F noktasının konum, hız ve ivmesini giriş kolu 4 s-1 sabit açısal hız ile dönerken her açıda bulmak istiyoruz.

Bu problemde konum analizi için üçgen çözümleri kullanılacak, hız analizi için ise matris çözümü uygulanacaktır.

       

Görüldüğü gibi, xB ve yB B noktasının C0 noktasına göre, pozitif x ekseni QC0 olmak üzere, koordinatlarıdır. C0B vektörünü dik koordinat sisteminden polar koordinat sistemine dönüştürdüğümüzde:

       

olacaktır. BCC0 üçgeninde BC0C= ve BCC0= dersek, kosinus teoremine göre bu açılar:

       

olacaktır. 14 ve 13 açıları:

       14 = -        ve        13 = 14 - 1

olacaktır. Burada 14 = - alınması, incelenmekte olan dört-çubuk mekanizmasının bağlantı şekline uygundur.

Şimdi A ve D noktalarının C0 noktasına göre konumlarını belirleyelim.

       

Şimdi:

       

olacaktır.

Bu şekilde bir kenarının boyutunu bulduğumuz ADE üçgeninde ADE= ve AED=2 dersek, kosinus teoremine göre bu açılar:

       

olacaktır. Bulunan bu değerler kullanılarak 15 ve 16 açıları:

       

F noktasının A0 noktasına göre konum vektörü:

       

veya, kompleks sayılar ile:

       

Bu denklemden:

       

Verilen bir 12 krank açısından başlayarak yukarıda verilmiş olan denklemler sıra ile çözülerek F noktasının konumu bulunabilir. Dikkat edilir ise, elde edilmiş olan bir çözüm algoritmasıdır ve sayısal olarak bu algoritmanın uygulanabileceği çeşitli programlama ortamında kullanılabilir. Örneğin Excel paket programı, Mathcad, Mathlab gibi matematik işlem ağırlıklı paket programları veya Basic ve Pascal gibi bilgisayar lisanları kolaylıkla bu denklemleri bir algoritma yapısı içinde bilgisayarda çözüm yapmamızı sağlayabilir ve sayısal değerler elde etmemize yardımcı olabilirler. Şekilde F noktasının yörüngesi görülmektedir (A0 merkez olarak) ( Yörünge üzerinde x işareti 12=900 deki konumdur).

F noktasının yörüngesi.

Hız ve ivme analizi için kullanılmak üzere katsayı matrisi kompleks sayılar ile:

       

dir. Hız denklemi:

       

olup burada:

       

dir. Benzer bir şekilde, ivme denklemi:

       

olup:

      

ve:

      

dir. Uzuvların açısal hız ve ivmeleri devre hız ve ivme denklemlerinden çözüldükten sonra F noktasının hız ve ivmesi A0F konum vektörünün birinci ve ikinci türevlerinin alınması ile belirlenir:

      

Bu kompleks denklemlerin her an reel ve sanal kısımları ayrı ayrı yazılması mümkündür. Ayrıca istenir ise, matris hız ve ivme denklemleri uzuvların açısal hız ve ivmelerine ayrı ayrı çözülmeside mümkündür (Matris denklemleri incelendiğinde, ilk iki hız denkleminden 13 ve 14, doğrudan 12 'ye göre çözülebilir. Son iki hız denkleminden ise 15 ve 16, 13 ve 12'ye göre çözülebilir. Aynı durum açısal ivme için söz konusudur).

Tüm çevrim için hız ve ivmenin polar diagramı aşağıda a ve b şekillerinde gösterilmiştir (x ile gösterilen nokta kol açısının 900 olduğu konumdur). Hız ve ivme mm/s ve mm/s2 olarak ölçülmüştür.


a) Polar Hız diyagramı

 


b) Polar İvme diyagramı

 

Mekanizmanın konum analizi için hazırlanmış olan eksel kütüğü ektedir. Siz bu kütüğü kullanarak (isterseniz Sheet2 sayfasında, veya aynı sayfada) Balyalama Mekanizmasının hız ve ivme analizini yapın ve polar hız ve ivme diyagramlarını çizin. -BalyalamaMek.xls-

Kol açısının 900 olduğu verilen konumda grafik analiz yaptığımızda, 2 uzvu sabit bir hızda (12=4 rad/s) döndüğüne göre A ve B noktalarının merkezden uzaklığı ile açısal hız çarpılarak VA=VB=728mm/s olarak elde edilir. VA sola doğru iken, VB hız vektörü sağ doğru olacaktır. kv=0.5 mm/mm s-1 olan bir ölçek kullanarak bu bilinen hız vektörlerini çizelim. 1,2,3 ve 4 uzuvlarından oluşan devre göz önüne alındığında bu devrenin türevinden elde edilecek olan hız devre denkleminin vektörel gösterimi:

       VC = VB + VC/B

Olarak yazılabilir. VC/B, CB doğrusuna dik ve VC CC0 doğrusuna dik olacaktır. Verilen konumda BA0 ve CC0 paralel olduğundan, VC ve VB eşit olup VC/B=0 ve 13=0 olmalıdır. Bu durumda VD=VC=VB dir. Bundan sonra 5 ve 6 uzuvları üzerinde daima çakışan noktalar olan E noktasını göz önüne alalım. D ve E noktaları 5 uzvu üzerinde olduğuna göre:

       VE = VD + VE/D

Yazılabilir. Benzer bir şekilde A ve E noktaları 6 uzvu üzerinde olduğundan:

       VE = VA + VE/A

Yazılabilir. VD ve VA hız vektörlerinin şiddetleri ve yönleri biliniyor isede VE/D ve VE/A bağıl hız vektörlerinin yönlerinin sırası ile ED ve EA doğrularına dik oldukları söylenebilir. Bu iki vektör denklemi ayrı ayrı E noktasının hızını bulmak için yeterli değil isede her iki denklemin sağ tarafları birbirlerine eşitlendiğinde ilk olarak VE/D ve VE/A bağıl hız vektörlerinin şiddeti sonrada çakışma noktasından dolayı VE hız vektörü bulunur. F noktasının hızı için ise Mehmke teoremi kullanılabilir veya

       VF = VE + VF/E

       VF = VA + VF/A

denklemlerine ortak çözüm yapılır. Sonuç aşağıda görüldüğü gibidir.


Hız analizi

İvme analizi için ise, hız analizinda kullandığımız noktalar aynen kullanılmalı, ancak bu noktaların ivmeleri normal ve teğetsel ivmeler olarak bileşkeleri kullanılarak yazılmalıdır. 2 uzvu sabit bir hızda döndüğünden, A ve B noktalarının teğetsel ivmeleri yoktur. (aA=anA , aB=anB). Bu durumda her ikiside dönme merkezine doğru olmak üzere A ve B noktalarının ivme şiddetleri aA=aB= 2912mm/s2 olarak bulunur. ka=0.2mm/mm/s2olarak bir ölçek kullanarak bu vektörleri çizelim (üstteki şekil). Şimdi C noktasının ivmesini, B noktasının ivmesi ve bağıl ivme olarak yazalım:

       anC + atC = anB + anC/B + atC/B

anC normal ivmesi CC0 yönünde C0 a doğru olup şiddeti: 132|CC0|=VC2/ |CC0| = 1045mm/s2 dir. Bu konum için 13=0 olduğundan anC/B=0 olacaktır. atC and atC/B sırası ile CC0 ve CB doğrularına diktir (şiddetleri bilinmemektedir). Bu doğruların ivme poligonunda çizilerek çakışma noktalarının belirlenmesi bilinmeyen atC and atC/B ivme şiddetlerini verir. Dikkat edilir ise 13=0 olması açısal ivmenin sıfır olmasını gerektirmeyecektir. Yani . atD/B bulunabilir (13=atC/B /|CB| açısal ivme bulunur ve atD/B=13 |DB| dir). 13=0 olduğundan anD/B =0 olacaktır. Böylece aD ivmesi bulunur . E noktası için hız analizinde olduğu gibi:

       aE = aD + anE/D + atE/D

ve

       aE = aA + anE/A + atE/A

yazılabilir.

anE/D= 152|ED|= VE/D2/|ED|=1366mm/s2,(ED yönünde D ye doğru).

anE/A= 162|EA| = VE/A2/|EA| = 1269 mm/s2, ( EA yönünde A ya doğru).

Teğetsel ivme bileşkeleri atE/D ve atE/A sırası ile ED ve EA doğrularına diktir (Şiddetleri bilinmemektedir) Her iki denklem için ortak çözüm yapılarak önce bu bağıl teğetsel ivmelerin şiddeti bulunur ve sonra vektörel toplamla E noktasının ivmesi belirlenir. F noktasının ivmesini bulmak için ise Mehmke teoreminden yararlanılabilir (İvme poligonunda aef üçgeni, mekanizmada 6 uzvu üzerinde AEF üçgeni ile benzerdir).Sonuç şekilde görülmektedir. Sayısal olarak aF = 1075.5/0.2 =5378 mm/s2 aşağıya doğru elde edilmiştir.


İvme analizi

Mekanizmanın AutoCad Kütüğü -SamanBalyalama.dwg-

©es