8.3 Hareket Eğrileri

Uygulamada çok sayıda farklı hareket eğrileri kullanılmaktadır. Burada genel özellikleri açıklayan temel hareket eğrileri ele alınacaktır.

1.    Doğrusal Hareket: Doğrusal hareket eğrisi:

s = Ct

Kam için sabit açısal hız (ω) kabul edilir ise:

s = Cθ/ω  dır.

H = Strok boyu, β = kamın tüm hareket sırasında döndüğü açı ise, s = 0 iken θ = 0 ve s = H iken θ = β sınır şartları kullanılarak

s = Hθ/β

ve

v = Hω/β

a = 0, ancak başlangıç ve bitiş noktalarında a = ∞ olacaktır.

Şekilde Hareket, hız ve ivme eğrileri gösterilmiştir. Uç noktalarda ivmenin sonsuz olması bu tip bir eğrinin düşük hızlarda bile kullanılmasına müsaade etmemek-tedir. Ayrıca bu eğri kam eğrisi olarak çizildiğinde, süreksizlik hareket diyagramında görüldüğü gibi kam profilinde de olacaktır.

2.    Basit Harmonik Hareket:

Tasarımı kolay ve sürekli bir hareket olmasından dolayı basit harmonik hareket bilhassa düşük veya orta hızlı kamlarda çok sıkca kullanılan bir harekettir. Geometrik olarak basit harmonik hareket Şekilde gösterildiği gibi, bir daire üzerinde bulunan noktaların s öteleme eksenine projeksiyonu ile elde edilir. Çapı toplam öteleme strokuna eşit yarım daire kam yükselme açısı bölümü kadar bölümlere ayrılır ve daire üzerinde alınan her noktanın dikey eksene projeksiyonu sırasında kamın belirlenen aralık kadar döndüğü öngörülür. Şekilden anlaşılacağı gibi, hareket başlangıç ve bitişte daha yavaş, orta noktalarda daha hızlı olacaktır. Bu tüm bekleme-hareket-bekleme için kullanılan eğrilerde aranılan özelliktir. Basit harmonik hareketin denklemi:

\displaystyle \text{s}=\frac{\text{H}}{2}\left[ {1-\cos \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right]

\displaystyle \text{v}=\frac{{\text{Hπω}}}{{2\text{β}}}\sin \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)

\displaystyle \text{a}=\frac{\text{H}}{2}{{\left( {\frac{{\text{πω}}}{{\text{β}}}} \right)}^{2}}\cos \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)

Hız ve ivme diyagramları şekilde görülmektedir ve maksimum hız ve ivme değerleri:

\displaystyle {{\text{v}}_{{\text{max}}}}=\frac{{\text{Hπω}}}{{2\text{β}}}      ,      \displaystyle {{\text{a}}_{{\text{max}}}}=\frac{\text{H}}{2}{{\left( {\frac{{\text{πω}}}{\text{β}}} \right)}^{2}}

3.    Parabolik veya Sabit İvmeli Hareket:

Parabolik harekette hareketin ilk yarısında izleyici sabit bir ivme ile hızlandırılırken ikinci yarısında sabit bir eksi ivme ile yavaşlatılır. Bu hareket eğrisini grafik olarak çizmek için izleyici yükselişi ile kamın dönme açılarını eşit sayılara bölmemiz gerekir. Yükseliş bölümlerini orta noktada bir dikey doğru üzerinde gösterelim. O başlangıç noktasından dikey doğru üzerinde bulunan 1, 2, 3 ve 4 noktalarına çizilen doğrular ile kam dönme açısı bölümlerinden çizilen dikey doğruların kesiştiği noktalar bu parabol üzeride bulunan noktalardır. Hareketin ikinci yarısı için O yerine O′ noktası kullanılarak aynı işlem tekrarlanır.

İzleyicinin hareketi, hızı ve ivmesi kam dönme açısına göre:

0 < θ < β/2 için           β/2 < θ < β için

s = 2Hθ²/β²                s = H[1 − 2(1 − θ/β)²]

v = 4Hωθ/β²              v = 4Hω(β − θ)/β²

a = 4Hω²/β²               a = −4Hω²/β²

İvme her konumda belirli bir değer alırsa da, ivme değişimi (sadme) sonsuz olacaktır. Hareket, hız ve ivme diyagramları Şekilde gösterilmektedir.

4.    Sikloid Hareket:

Eğer bir daire bir doğru üzerinde yuvarlanır ise, daire çemberi üzerinde bir nokta sikloid eğrisini çizer. İzleyicide sikloid hareketi elde etmek için çevresi H veya çapı H/π olan, merkezi ise OO′ doğrusu üzerinde bulunan daire çizilir. Daire çemberi ve kam yükseliş açısı aynı sayıda eşit aralıklara bölünür. Bu daire üzerinde bulunan bir noktadan (örneğin 1 noktası) çizilen yatay doğrunun dikey ekseni kestiği noktadan OO′ ye paralel çizilen doğru ile aynı noktaya karşı gelen yatay eksen üzerindeki noktadan (1 noktası) çizilen dikey doğrunun kesiştiği nokta yükselme eğrisi üzerinde bir noktayı belirler. Analitik olarak hareket, hız ve ivme eğrileri :

\displaystyle \text{s}=\frac{\text{H}}{\text{π}}\left[ {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}-\frac{1}{2}\sin \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right]

\displaystyle \text{v}=\frac{{\text{Hω}}}{\text{β}}\left[ {1-\cos \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right]

\displaystyle \text{a}=\frac{{\text{2Hπ}{{\text{ω}}^{2}}}}{{{{\text{β}}^{2}}}}\sin \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)

\displaystyle {{\text{v}}_{{\max }}}=\frac{{\text{2Hω}}}{\text{β}}\text{   ,   }{{\text{a}}_{{\max }}}=\frac{{\text{2Hπ}{{\text{ω}}^{2}}}}{{{{\text{β}}^{2}}}} 

Hareket, hız ve ivme diyagramları

Şu ana kadar açıklanmış olan eğriler arasında sikloid hareket eğrisi en iyi dinamik özellikere sahip kam sistemini verebilecektir. İvme her noktada sınırlı olup başlangıç ivmeside sıfırdır. Bu en az titreşim, gürültü oluşturan bir kam sistemini vereceğinden genellikle tavsiye edilir. Ancak bu özelliklere erişilebilmesi için kamın çok hassas imal edilmesi şarttır.

5.    Doğru ve Daire Yayı – Birleşik Eğriler:

Doğrusal hareket eğrisinde, başlangıç ve bitiş noktaları sonsuz ivme olduğundan dolayı uygulamada sorun yaratacaktır. Başlangıç ve bitiş noktalarında sonsuz ivmeyi önlemek için başlangıç ve bitiş bir daire yayı, arada ise bu iki daire yayına teğet bir doğru çizilerek elde edilen yükseliş eğrisinde hareket ve hareketin birinci türevi sürekli olacak, ivme ise her noktada sonlu bir değer alacaktır. Aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, genel olarak daire yayı yarı çapı yükselme mesafesine (H) eşit alınır ise de, farklı bir çapta kullanılabilir.

Kalkış sırasında belirli bir aralıkda sabit bir hız elde edilebilmesi için doğrusal hareket eğrileri bir çok uygulama için gereklidir. Hareketin sürekliliğini sağlamak için ise, başlangıç ve bitiş noktalarında daire yayı kullanılabileceği gibi, harmonik haraketin, parabolik hareketin veya sikloid hareketin yarısı bu doğruyu başlangıç ve bitiş noktalarına sıfır eğim ile bağlayabilir.

Örnek 1:

50 devir/dakika açısal hız ile dönen bir kam mekanizmasında, izleyicinin ilk olarak sabit ivme ile 200 mm/s hıza çıkmasını, 60° bu sabit hız ile hareket etmesini ve sonra sabit ivme ile toplam 60 mm yükseliş yaptıktan sonra beklemeye girmesi istenmektedir.

Bu yükseliş eğrisini, hızını ve ivmesini belirleyelim.

Şekilde görüldüğü gibi, yükseliş eğrisi üç kısımdan oluşacaktır. 0 < θ < β₁ aralığında sabit ivme, β₁ < θ < β₂ aralığında sabit hız ve β₂ < θ < β aralığında ise yine sabit ivme ile durmadır. Kamın açısal hızı ω = 50π/30 = 5.238 rad/s olduğuna göre π/3 aralığı, Δt = 0.2 saniyede alınacak 200 mm/s hızla yükseliş H′ = 200×0.2 = 40 mm olacaktır. Diğer iki aralıkta toplam yükselme 20 mm dir. Başlangıç ve bitiş ivmelenmeleri sırasında aynı yükseliş olduğu kabul edilir ise, her iki kısımda 10’ar mm yükseliş alınabilir. Dikkat edilir ise sabit ivme sırasında kamın dönme açısı belirli değildir (mümkün olduğunca artırılması amaçlanmalıdır).

0 < θ < β₁ aralığı sırasında sabit ivme için parabolik hareket olacaktır. İkinci dereceden hareket eğrisi:

s = c₀ + c₁θ + c₂θ²

şeklinde yazılabilir. Sınır şartlar olarak θ = 0 iken s = 0 ve v = 0, θ = β₁ iken ise s = 10 mm ve v = 200 mm/s olmalıdır. θ = 0 şartları kullanıldığında c₀ = c₁ = 0 elde edilir. θ = β₁ de konum ve hız şartlarından ise:

c₂β₁² = H₁ = 10 mm

2c₂β₁ω = 200 mm/s

dir. Bu denklemlerden β₁ = π/6 (30°) ve c₂ = 360/π² olarak elde edilir.

β₂ < θ < β aralığında yine sabit ivme olacağından aynı ikinci derece eğri kullanılacak ve sınır şartlar θ = β₂ = π/2 için s = 50 mm, v = 200 mm/s, θ = β için ise s = H = 60 mm ve v = 0 olacaktır. Bu şartlar kullanıldığında Δβ = β − β₂ = π/6, c₀ = H − 100β²/Δβ, c₁ = 100β²/Δβ ve c₂ = −100β²/Δβ olarak bulunur. Bu durumda yükseliş eğrisi denklemleri:

0 < θ < π/6 için

s = 360θ²/π²  ,  v = 720θω/π² = 1200θ/π  ve  a = 720ω²/π² = 2000 mm/s²

π/6 < θ < π/2 için

s =200θ  ,  v = 200 mm/s  ve  a = 0

π/2 < θ < 2π/3 için

s = 60 − 100(β − θ)²/(ωΔβ) = 60 − 360(β − θ)²/π²  ,  v = 200(β − θ)/Δβ = 1200(β − θ)/π  ve  a = −1200ω/π = −2000 mm/s²

Hareket, hız ve ivme eğrileri

6.    Trapezoid İvme Eğrisi:

Açıklanmış olan parabolik veya sabit ivmeli harekette başlangıç ve bitiş noktalarında ivmenin bir basamak şeklinde değişmesi yerine, ivmenin zamana göre türevinin sonsuz olmasını önlemek için diktörtgen şeklinde olan ivme eğrisinin dikey kenarlarını meyillendirerek trapez şeklinde bir ivme diyagramı elde edilebilir. Genellikle ivmenin düzgün değiştiği bu kısım yükselme açısının 1/8 i kadar alınır. Kalan aralıkda sabit ivmeli hareket vardır. Trapezoid ivme eğrisi:

a.     Parabolik eğriye göre titreşim ve gürültüsü daha az, aşınma ve şok etkisi daha uygun kam sistemi ile sonuçlanır.

b.     Üçüncü derece hareket veya sikloidal harekete göre daha küçük kam ebatları ve daha düşük maksimum ivme değerleri elde edilir.

c.     Bağlama açısı aynı taban dairesi için üçüncü derece hareket eğrisine nazaran daha iyidir.

Bu nedenlerden dolayı trapezoid ivme eğrisi (veya bu eğrinin daha iyileştirilmiş şekilleri) bilhassa otomotiv sanayiinde en fazla kullanılan eğridir (İleri tasarım şartlarında bu trapez ivme diyagramında köşelerinde sürekliliğin sağlanması düşünülmelidir).

7.    Üçüncü Derece Hareket Eğrisi (#1):

İvmenin sabit olmayıp düzgün olarak değişmesi istenilir ise hareket üçüncü dereceden olacaktır. Birinci tip (#1) üçüncü derece hareket eğrisinde ivmenin zamana göre değişimi pozitifdir. Bu nedenle eğri iki üçüncü derece eğrinin birleşiminden elde edilir. Hareketin başlangıç ve bitişinde ivmenin sıfır olması avantajlı isede, orta noktada ivmenin sürekli olmayışı uygulamada sorunlar yaratır (sadme sonsuz olacaktır). Bu nedenle tavsiye edilmemektedir. Analitik olarak hareket, hız ve ivme denklemleri:

0 < θ < β/2 için           β/2 < θ < β için

s = 4Hθ³/β³                s = H[1 − 4(1 − θ/β)³]

v = 12Hωθ²/β³            v = 12Hω(β − θ)²/β³

a = 24Hω²θ/β³             a = −24Hω²(β − θ)/β³

8.    Üçüncü Derece Hareket Eğrisi (#2):

İkinci tip üçüncü derece hareket eğrisi ise tek bir eğriden oluşmuştur ve süreklidir. Bu eğriye aynı zamanda 2-3 polinomu da denmektedir. Hareket, hız ve ivme eğrileri Şekilde verilmiştir. Analitik olarak denklemler:

s = Hθ²(3β − 2θ)/β³

v = 6Hωθ(β − θ)/β³

a = 6Hω²(β − 2θ)/β³

9.    Çift Harmonik Hareket Eğrisi:

Bu eğri iki harmonik hareketin farkından oluşmaktadır. Şu ana kadar elde edilmiş eğriler simetrik iken, bu eğri simetrik değildir. Bu nedenle Bekleme-Hareket veya Bekleme-Hareket-Doğrusal Hareket gibi durumlarda kullanımı daha uygundur. Hareket, hız ve ivme denklemleri:

\displaystyle \text{s}=\frac{\text{H}}{2}\left[ {1-\cos \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)-\frac{1}{4}\left( {1-\cos \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right)} \right]

\displaystyle \text{v}=\frac{{\text{Hπω}}}{{2\text{β}}}\left[ {\sin \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)-\frac{1}{2}\sin \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right]

\displaystyle \text{a}=\frac{{H{{\text{π}}^{2}}{{\text{ω}}^{2}}}}{{2{{\text{β}}^{2}}}}\left[ {\cos \left( {\frac{{\text{πθ}}}{\text{β}}} \right)-\cos \left( {\frac{{\text{2πθ}}}{\text{β}}} \right)} \right]

10.    Polinom Hareket Eğrileri:

Pratikte kullanılan temel hareket eğrileri genel olarak yukarıda açıklanmış olan hareket eğrileridir. Ancak yüksek hızlarda ve özel uygulamalarda değişik hareket eğrileri kullanılabilir. Bu eğrilerde dördüncü türeve kadar süreklilik aranmaktadır. Çok sayıda harmoniklerden oluşan hareket eğrilerinin titreşim açısından uygun olmadığı görülmüştür. Çeşitli çalışmalarda sabit ivme – parabolik hareket eğrisini trapezoid iv-mede olduğu gibi, düzeltme yolları araştırılmıştır (örneğin ilk 1/8 de doğrusal ivme yerine harmonik ivme gibi). Bir başka yaklaşım ise çeşitli derecede bir polinomların hareket eğrisi olarak kullanılmasıdır.

Bir polinomun genel denklemi:

s = c₀ + c₁θ + c₂θ² + … + c_nθⁿ

dir. Burada:

s : izleyici hareketi

θ : kam dönme açısı

c_i : sabit değerler (i = 0, …, n)

n : polinom derecesi

Bu polinomun kam açısı β kadar döndüğünde izleyiciyi H kadar yer değiştirmesi istendiği gibi başlangıç ve bitişte bekleme olduğundan bu konumlarda izleyicinin hızı, ivmesi sıfır olması gerekir (bu şekilde, bekleme ile başlayıp biten harekette süreklilik sağlanabilir):

θ = 0 iken          θ = β iken

s = 0                   s = H

v = 0                   v = 0

a = 0                   a = 0

olması gerekir. Bu altı sınır şartın sağlanabilmesi için polinomda altı sabit bulunmalı, yani polinom beşinci dereceden olmalıdır. Bu polinom ve türevleri:

s = c₀ + c₁θ + c₂θ² + c₃θ³ + c₄θ⁴ + c₅θ⁵

v/ω = c₁ + 2c₂θ + 3c₃θ² + 4c₄θ³ + 5c₅θ⁴

a/ω = 2c₂ + 6c₃θ + 12c₄θ² + 20c₅θ³

olacaktır. Yukarıda verilmiş olan sınır şartlar kullanıldığında:

0 = c₂

H = c₀ + c₁β + c₂β² + c₃β³ + c₄β⁴ + c₅β⁵

0 = c₁

0 = c₁ + 2c₂β + 3c₃β² + 4c₄β³ + 5c₅β⁴

0 = 2c₂

0 = 2c₂ + 6c₃β + 12c₄β² + 20c₅β³

c₀ = c₁ = c₂ = 0 değerleri diğer denklemlerde kullanılırak diğer üç denklem bilinmeyen diğer üç katsayı için çözüldüğünde:

\displaystyle {{\text{c}}_{3}}=10\frac{\text{H}}{{{{\text{β}}^{3}}}}\text{   ,   }{{\text{c}}_{4}}=-15\frac{\text{H}}{{{{\text{β}}^{4}}}}\text{   ,   }{{\text{c}}_{5}}=6\frac{\text{H}}{{{{\text{β}}^{5}}}}

\displaystyle \text{s}=\text{H}{{\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)}^{3}}\left[ {10-15\frac{\text{θ}}{\text{β}}+6{{{\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)}}^{2}}} \right]

\displaystyle \text{v}=30\text{H}\frac{\text{ω}}{\text{β}}{{\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)}^{2}}\left[ {1-2\frac{\text{θ}}{\text{β}}+{{{\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)}}^{2}}} \right]

\displaystyle \text{a}=60\text{H}{{\left( {\frac{\text{ω}}{\text{β}}} \right)}^{2}}\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)\left[ {1-3\frac{\text{θ}}{\text{β}}+2{{{\left( {\frac{\text{θ}}{\text{β}}} \right)}}^{2}}} \right]

Bu polinom literatürde 3-4-5 polinomu olarak bilinmektedir. Yüksek dereceli polinomların hareket eğrilerinde başlangıç ve bitiş noktalarında gittikçe daha az izleyici hareketi olacaktır. Bu tür eğrilerin kamda gerçekleştirilebilmesi için çok hassas imalat gereklidir. Örneğin başlangıç ve bitiş noktalarında üçüncü türevinde sıfır olması şartı getirilir ise ( = 0), sınır şartı sekize çıkacak ve yedinci derece bir polinom ile sınır şartlar sağlanacaktır. Ancak iki uç noktada hareketin az olması, ara konumlarda hızın ve ivmenin daha yüksek olmasını gerektirecektir. Bu nedenlerden dolayı, kullanılacak eğriye hem imalat ve hemde uygulamanın gerektirdiği şartlar birlikte göz önüne alınarak karar verilmelidir.

Hareket eğrilerinin özelliklerini birbiri ile karşılaştırabilmek için tüm eğrilerin aynı krank dönme açısına karşı aynı yükseliş hareketini verecek şekle getirmemiz gerekir. Buna Hareket eğrilerinin “Normalizasyonu”denmektedir. Bu konu için burayı tıklayın.

Örnek 2:

Aşağıda verilmiş olan hareketi sağlayan kamın 360°si için hareket diyagramını verecek denklemleri bulun, hareket eğrisini çizin.

Sikloidal Hareket ile 120° de 40 mm yükseliş

30° kam dönüşü sırasında bekleme

90° kam dönmesi ile 20 mm geri dönüş (basit harmonik hareket)

30° kam dönüşü sırasında bekleme

60° kam dönmesi ile 20 mm geri dönüş (parabolik hareket).

Genel olarak bir kamda tüm hareketler için uygulama ve imalat şekline bağlı olarak tek hareket tipi seçilir. Burada değişik kam eğrisi örneklerini göstermek için üç değişik hareket eğrisi seçilmiştir.

İstenilen hareket eğrileri, verilen yükseliş ve krank dönme açılarına göre (hepsi yükseliş eğrisi olarak ve hepsi θ = 0° de yükselişe başlayacak şekilde):

Sikloid hareket (H = 40 mm, β = 2π/3)                   s = (20/π)(3θ − sin(3θ))

Basit harmonik hareket (H = 20 mm, β = π/2)       s = 10(1 − cos(2θ))

Parabolik hareket (H = 20 mm, β = π/3)

s = 40[θ/(π/3)]²                        0 ≤ θ ≤ π/6

s = 20 [1 − 2(1 − θ/(π/3))²]      π/6 ≤ θ ≤ π/6

Bu denklemleri uygun bölgeye taşır, geri dönüş eğrileri haline getirirsek kamın 360° dönmesi sırasında izleyici hareket eğrisini elde edebiliriz:

0 ≤ θ ≤ 2π/3                      s = (20/π)[3θ − sin(3θ)]

2π/3 ≤ θ ≤ 5π/6                 s = 40

5π/6 ≤ θ ≤ 4π/3                 s = 40 − 10[1 − cos(2(θ − 5π/6))] = 30 + 10cos(2θ − 5π/3)

4π/3 ≤ θ ≤ 3π/2                 s = 20

3π/2 ≤ θ ≤ 5π/3                 s = 20 − 40[(θ − 3π/2)/(π/3)]²

5π/3 ≤ θ ≤ 11π/6               s = 20 − 20{1 − 2[(θ − 3π/2)/(π/3)]²} = 40[(θ − 3π/2)/(π/3)]²

11π/6 ≤ θ ≤ 2π                  s = 0

Hareket eğrisi kamın tam bir devri için hareket eğrisi Excel programı kullanılarak hesap edilmiş ve çizilmiştir. Şekilde Excel tablosunun belirli satırlarında yazılmış olan formüller gösterilmektedir. A kolonunda hücrelere 3 ten 363 e kadar bir derece aralıklarla kam açısı, B kolonunda aynı satırlarda bulunan hücrelerde ise bu açının radyan olarak değeri bulunmaktadır. C kolonunda ise örneğin 3 ile 123 satırları arasında hücrelere sikloid eğri formülü yazılmıştır (formül C3 hücresine yazıldıktan sonra C4-C123 arasındaki hücrelere kopyalanır. Burada ara satırlar gösterilmemiştir). 124 ile 152 satırları arasında beklemeden dolayı C sütünunda hücrelere sadece 40 değeri girilmiştir. Benzer işlem geri dönüş eğrileri içinde tekrarlanmıştır. Sonuçta elde edilen değerler Şekilde Excel grafik komutu ile elde edilen hareket diyagramıdır (aralık istenir ise 0.1° olarak da alınabilir).

Excel kütüğü için tıklayın.

Elde edilmiş olan bu hareket eğrisi denklemi ile istenilen sıklıkta ve istenilen hassasiyette hareket eğrisi değerleri elde edilebilecektir. İleride kam profili elde edilmesi sırasında bunun önemi anlaşılacaktır.